湍流，是自然界最狂野的存在之一。

你见过它。江河奔腾时，水面上翻滚的漩涡；风暴来袭时，空气中无序的气流；甚至你在咖啡杯里搅拌时，液体表面瞬间形成的那些错综复杂的图案——它们都是湍流的影子。

如果说层流是秩序井然的军队，湍流就是毫无纪律的狂奔人群，每个人都在追逐，又每个人都在互相干扰。它的速度场剧烈变化，它的涡流层层叠叠，它吞噬能量，又毫无规则地释放。我们知道它在那儿，我们能看到它的表现，可要真正理解它，却难如登天。

湍流，是经典物理学尚未完全攻克的堡垒。而它的核心密码，就藏在纳维-斯托克斯方程里。

纳维-斯托克斯方程，这个名字听起来就像是某种晦涩的数学密码，藏着某种通往终极真理的秘密。但现实是，它困扰了科学家上百年，不仅没有彻底解决，还成为了克雷数学研究所悬赏百万美元的七大千禧难题之一。

但它不仅仅是一个方程。

它是一组偏微分方程，描述了粘性流体的运动。流体力学最基础的出发点是质量守恒，这意味着流体不会凭空消失或产生。在数学上，它被写成连续性方程：

其中，ρ是密度，v 是流体的速度场。这是物理世界最朴素的常识：流体不会无缘无故地从空间中消失，它的流入量和流出量总是相等的。

但守恒的，不止是质量，还有动量。

动量守恒定律，应用到流体上，就是著名的纳维-斯托克斯方程。它的基本形式是：

左边描述的是流体的加速度，右边是作用在流体上的力：压力梯度力、粘性力和外力f\mathbf{f}f。它们共同决定了流体的流动方式。

如果你觉得这个公式看起来眼熟，那是因为它和牛顿第二定律 F=ma其实是一回事。只不过，现在 m 变成了流体单元的质量密度，a 变成了速度的时间变化率，再加上速度的空间变化对自身的影响，最终拼成了这样一个复杂的方程。

但麻烦来了。

这个方程组是非线性的。非线性意味着，小小的扰动可以导致巨大而难以预测的变化。湍流，就是最典型的例子。

你往杯子里倒牛奶，奶流冲进咖啡的瞬间，一开始是光滑的，接着就卷起了千奇百怪的漩涡。微小的变化，会不断放大，形成无规则的流动结构。这就是湍流，而纳维-斯托克斯方程，正是描述湍流的数学基础。

问题是，我们还不清楚它到底有没有一个一般意义上的光滑解。

数学家想知道，当流体速度的变化剧烈时，会不会出现某个奇点，让速度无穷大，让方程失去意义。如果存在这样的奇点，意味着流体的行为在某些情况下是“爆炸式”的，而这对我们理解现实世界的流体现象，有着深远的影响。

换句话说，我们想知道，纳维-斯托克斯方程的解是否在所有时间、所有初始条件下都保持光滑，或者会在某些情况下“发疯”。

这不是一个小问题。

为了更深入地理解，我们可以看一看涡量的演化。涡量是流体的局部旋转性，它的演化由涡量方程描述：

这里，ω=∇×v是涡量，ν是动力粘度系数。这告诉我们，涡量的变化不仅受自身影响，还受到流体速度梯度的影响。这种非线性项，使得流体的行为极其复杂。

如果我们退一步，把粘性力 μ设为零，就得到了欧拉方程：

这是描述无粘流体的方程。相比纳维-斯托克斯方程，它少了一项——粘性项 μ∇^2v，这意味着它无法描述真实流体的粘性效应，但却是研究湍流理论的一个重要工具。

数学家们一直在努力寻找纳维-斯托克斯方程的解，试图证明它在三维情况下是否始终光滑。最接近的一步是 Leray 和 Hopf 提出的“弱解”概念，即即使我们找不到完全光滑的解，也可以定义一种“弱”解，让方程在某种广义意义上成立。

但弱解并不等于真正的光滑解。

如果你解决了这个问题，数学界会为你奉上 100 万美元奖金。但更重要的是，你将彻底改变我们对流体的理解。

这不仅仅是一个数学问题。

飞机设计、气候模拟、海洋预测、甚至火箭推进，都涉及流体力学。而如果我们无法彻底理解纳维-斯托克斯方程，就意味着我们的模拟，始终可能存在某种程度的误差。

爱因斯坦曾说，如果能完全理解湍流，那一定会是人类科学的伟大成就之一。一个世纪过去了，我们仍然在探索这条路上。

也许，某一天，这个方程的谜题会被解开。

也许，那一天会彻底改变我们对世界的理解。