主要内容：

通过三角函数换元法、二次方程判别式和多元函数导数法，介绍求椭圆内接矩形的最长周长。

方法一：三角换元法

设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：

则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：

m²/4+n²/3=1,

设m=2sint，n=√3cost，t∈[0,π/2],

代入周长表达式得：

C=4(2sint+√3cost)

=4*√7[(2/√7)sint+(√3/√7)cost]

=4*√7sin(t+φ),其中tanφ=√3/4.

可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：

Cmax=4*√7.

方法二：判别式法

∵C=4(m+n)，

∴m=C/4-n,代入椭圆方程得：

(C/4-n)²/4+n²/3=1,

3(C/4-n)²+4n²=12,

16*7n²-24Cn+3C²+16*4*n²-16*12=0,

看成为n的二次方程，由判别式得：

(24C)²-4*16*7(3C²-16*12)≥0，即：

C²≤16*7,可得Cmax=4*√7.

方法三：多元函数法

设F(m,n)=4(m+n)-λ(m²/4+n²/3-1),

分别求F对m，n，λ的偏导数为：

Fx=4-2mλ/4,Fy=4-2nλ/3,

Fλ= m²/4+n²/3-1。

令Fx=Fy=Fλ=0，则m/4=n/3,

代入m²/4+n²/3-1=0，则：

m=4/√7，n=3/√7;则

周长Cmax

=4*(4/√7+3/√7)

=4*√7。