四道数学代数计算习题及其解答步骤

主要内容：

已知两个含有参数m的根式和为定值c，通过平方法和换元法计算m值的具体步骤。

思路1：换元法计算

设√(m+15)=x,√(m-9)=y,则：

x+y=12......(1)

x²-y²=24...(2)

由方程（2）得：

(x-y)(x+y)=24,

(x-y)*12=24,

即：x-y=2.....(3)

解方程组(1)、(3)得：

x=7,y=5。

所以：

m+15=x²,得：

m=x²-15,

m=34。

思路2：平方计算法

√(m+15)+√(m-9)=12，

√(m+15)=12-√(m-9)，

m+15=144-24√(m-9)+m-9，

24√(m-9)=120，

576(m-9)=14400，

m-9=25，

m=9+25,

所以：m=34。

思路3：单一换元法

设√(m-9)=t，则：

m=t²+9,代入方程得：

√(t²+24)+t=12,

√(t²+24)=12-t,两边平方得:

t²+24=144-24t+t²,

24t=120,即t=120/24,

所以m=t²+9=34。

主要内容：

介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法，计算代数式(x+y)/(x-y）在x²-y²=49xy条件下具体值的步骤。

思路一：正比例替换

设y=kx,代入已知条件得：

x²-(kx)²=49x*kx，

(1-k²)x²=49kx²，

1-k²=49k，则：

k²+49k-1=0,由求根根式得：

k=(-49±√2405)/2;

代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=(2±√2405)/49。

思路二：二次方程求根公式法

x²-y²=49xy,

y²+49xy-x²=0,将方程看成y的二次方程，

由求根公式得：

y=(-49±√2405)x/2,代入代数式得：

代数式

=[x+(-49±√2405)x/2]/[x-(-49±√2405)x/2]

=(2-49±√2405)/(2+49∓√2405)

=(2±√2405)/49。

思路三：结论换元法

设(x+y)/(x-y)=k,则：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x²-y²=49xy,将y代入已知条件得：

x²-(k-1)²*x²/(k+1)²=49*x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)²-(k-1)²=49(k²-1),

49k²-4k-49=0,

k=(2±√2405)/49。

思路四：中值替换

设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,

(m+n)²-(m-n)²=49*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=49(m²-n²)

49m²-4mn-49n²=0,由二次方程求根公式得，

m=(2±√2405)n/49。

则代数式=2m/2n

=m/n=(2±√2405)/49。

思路五：三角换元法

设x=cost,y=sint,则：

(cost)²-(sint)²=49*costsint,

2cos2t=49sin2t，即tan2t=2/49,

由万能公式得：

tan2t=2tant/(1-tan²t)=2/49,即：

(tant)²+49tant-1=0,

tant=(49±√2405)/2。

代数式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(49±√2405)/2]/[1-(49±√2405)/2]

=(2+49±√2405)/(2-49∓√2405)

=(2±√2405)/49。

本题主要是用代数式变形，以及韦达定理来求解代数式的值。

解：

∵p-q=2；

∴（p-q)²=4,则:

p²+q²-2pq=4,

p²+q²=2pq+4,

=4+4=8；

则：

(p+q)²

=p²+2pq+q²,

=p²+q²+2pq,

=8+4,

=12。

主要内容：

介绍利用勾股定理和因数分解求解x+y在x²+y²=4165条件的值的主要步骤。

解：主要步骤如下

因为4165=49*85，又：

85=2²+9²,则：

x²+y²

=49*2²+49*9²

=14²+63²。

则x=14,y=63或者x=63，y=14。

所以x+y=63+14=77.

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