函数y=±295x³±284x的性质对比及图像示意图

※.主要内容

本文主要使用函数的导数，计算函数y=±295x³±284x的一阶导数、二阶导数，解析函数的定义域、单调性、凸凹性及极限等函数性质，并对比分析系数符号对函数性质的影响，简要画出四个函数的图像示意图。

※.函数定义域

根据四个函数y₁=295x³+284x，y₂=295x³-284x，y₃=-295x³+284x，y₄=-295x³-284x的函数特征，函数是幂函数的和差形式，即自变量x可以取任意实数，所以四个函数的定义域均为：(-∞,+∞)。

※.函数的单调性

首先对整体进行求一阶导数，有：

∵y=±295x³±284x，∴y'=±3*295x²±284。

1. 对于y₁=295x³+284x有：

y'=3*295x²+284＞0，函数为增函数。

2. 对于y₂=295x³-284x有：

y'=3*295x²-284，令y'=0,则：x²=568/885，即：

x₁≈-0.6,x₂≈0.6，此时函数的单调性为：

(1)当x∈(-∞, -0.6)∪(0.6,+∞)时，y'＞0，函数为增函数；

(2)当x∈[-0.6, 0.6]时，y'＜0，函数为减函数。

3. 对于y₃=-295x³+284x有：

y'=3*295x²-284，令y'=0,则：x²=568/885，即：

x₁≈-0.6,x₂≈0.6，此时函数的单调性为：

(1)当x∈[-0.6, 0.6]时，y'＞0，函数为增函数；

(2)当(-∞, -0.6)∪(0.6,+∞)时，y'＜0，函数为减函数。

4. 对于y₄=-295x³-284x有：

y'=-3*295x²-284=-(3*295x²+284)＜0，函数为减函数。

※.函数的凸凹性

进一步由整体再次对x求导，有：∵y'=±3*295x²±284，∴y''=±6*295x。

1. 对于y₁=295x³+284x有：

y''=6*295x，令y''=0,则：x₃=0，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈[0,+∞)时，y''＞0，函数为凹函数；

(2)当x∈(-∞, 0)时，y''＜0，函数为凸函数。

2. 对于y₂=295x³-284x有：

y''=6*295x，令y''=0,则：x₃=0，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈[0,+∞)时，y''＞0，函数为凹函数；

(2)当x∈(-∞, 0)时，y''＜0，函数为凸函数。

3. 对于y₃=-295x³+284x有：

y''=-6*295x，令y''=0,则：x₃=0，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈(-∞, 0)时，y''＞0，函数为凹函数；

(2)当x∈[0,+∞)时，y''＜0，函数为凸函数。

4. 对于y₄=-295x³-284x有：

y''=-6*295x-2*284,令y''=0,则：x₃=0，此时函数的凸凹性为：

(1)当x∈(-∞, 0)时，y''＞0，函数为凹函数；

(2)当x∈[0,+∞)时，y''＜0，函数为凸函数。

※.函数的极限

Lim(x→-∞)295x³+284x=-∞ Lim(x→+∞)295x³+284x=+∞；

Lim(x→-∞)295x³-284x=-∞ Lim(x→+∞)295x³-284x=+∞；

Lim(x→-∞)-295x³+284x=+∞ Lim(x→+∞)-295x³+284x=-∞；

Lim(x→-∞)-295x³-284x=+∞ Lim(x→+∞)-295x³-284x=-∞。

※.函数的奇偶性

由函数的奇偶性判断，可知四个函数y₁=295x³+284x，y₂=295x³-284x，y₃=-295x³+284x，y₄=-295x³-284x均为奇函数，所以其图像示意图关于原点对称。