如果没有反馈，迭代不过是“简单重复”这个词的一个好听的说法。
迭代的真正意义不在于不断重复，而在于每一次的重复背后都蕴含着自我修正和进步的机会。反馈是迭代的灵魂，正是它让每一次的尝试都有了意义。没有反馈，迭代就变成了盲目重复，不仅浪费时间，还可能走向停滞。
我们应关注过程中的每一步反馈和调整，正是这些反馈让我们的轨迹不再是简单的线性前进，而是充满了活力和进步。
本文将从递推数列和一次函数的角度入手，探讨如何在迭代中融入反馈机制，并最终获得真正的进步。
一、递推数列与一次函数我们首先从递推数列和一次函数出发，来看看两者的相似性与区别。
递推数列是指每一项都依赖于前一项的数列。一般而言，我们会看到类似于以下的递推关系：
比如，最简单的等差数列就是递推数列的一种形式：
而一次函数的形式则是：
一次函数的特点是线性关系，且不存在前项对后项的直接依赖。换句话说，递推数列和一次函数在某种程度上是相似的，特别是在等差数列的情况下，它的每一项都是前一项加上一个固定的常数，与一次函数的线性增长在形式上非常相似。
但是，如果我们仅仅停留在这种形式上的相似性，我们就忽视了一个重要的方面——每一次迭代后的反馈。 这才是迭代的核心。反馈是改变轨迹的力量，正是反馈让迭代变得有意义。
二、每一次迭代后的重新评估当我们深入思考迭代过程时，我们会发现，每一次迭代之后，我们的评估和反馈往往会影响后续的变化。以递推数列为例，假设我们有一个递推公式：
如果我们不考虑每一次迭代后的重新评估，那么整个数列就会呈现出一种简单的等差增长，这与一次函数的情况是相同的。
然而，真实情况往往不是如此简单。如果我们在每一次迭代后都进行一次反馈评估，那么每一次的迭代结果都会根据当前的状态进行调整，而这个调整不仅仅是一个简单的常数项增加，它可能会受到许多复杂因素的影响。其中表示与时间或其他变化因素相关的调整函数。随着时间的推移的值可能发生变化，因此每次迭代后的结果都与前一次有所不同，这使得整个过程不再是简单的线性增长，而是加入了动态变化的因素。
三、学习中的反馈与迭代我们以学习的例子来进一步说明迭代与反馈的关系。假设我们有一个学期的课程安排，如果我们把这门课程的教学内容压缩到一个周内进行讲授，结果可能会和分阶段逐步推进的效果大不相同。
如果我们将课程的每个知识点视作迭代的一个步骤，那么压缩到一周内讲授相当于没有给予学生足够的时间去吸收和反馈。学生没有时间去评估自己的学习状态，没有时间根据上次学习的效果调整自己的学习策略。这时，虽然从表面上看，课程的内容只是被“快速”传授给学生，但实际上这种方式的迭代过程是没有反馈的，学生学习的效果必然大打折扣。
相反，如果我们将课程分为若干阶段，每个阶段后都进行一次小结或反馈，学生便可以根据前一个阶段的学习效果来调整自己的学习策略，补充自己的不足。这种方式通过逐步的反馈和调整，使得学生的学习过程变得更加动态和有效。
每一次学习的反馈，都是一次力量的积累，它让我们不断超越自我，向着更高的目标前进。
其中表示学生在第n阶段的学习进度则表示每个阶段结束后，学生根据反馈进行调整后的学习增量。如果我们忽略了每一阶段的反馈，那么学习进度就会是一个等差数列，和一次函数没有太大区别。然而，当我们引入了反馈因素之后，学习进度的增长就不再是一个简单的线性增长，而是一个动态的、依赖于学生自身反馈的增长过程。
四、康定斯基的迭代我们再举一个艺术家的例子——瓦西里·康定斯基如何创作出代表作《白边画》的故事。这幅作品并不是灵感闪现、一气呵成的产物，而是康定斯基在长达数月的过程中，根据细微改动的反馈不断打磨，最终创作完成的。
瓦西里·康定斯基（俄语：Василий Кандинский，英语：Wassily Kandinsky ，1866年12月16日—1944年12月13日）
康定斯基首先创作了第一版草图。接着，根据不断观察作品得到的反馈，他继续进行修改、迭代。正如阿什顿所述：“修改出的第二版草图几乎毫无变化，略有不同的只是线条更分散，落笔痕迹不再那么明显……随后他又画了更多版本，一共20张草图，每张都与上一版本相差不过一两步。整个过程历时5个月。”最后的成品是这幅作品的第21版。
《白边画》是瓦西里·康定斯基创作于1913年的一幅抽象主义作品，采用布面油彩材质，尺寸为140.3 x 200.3 cm。这幅画创作于慕尼黑和摩纳哥，展现了康定斯基对抽象艺术的深刻探索。作品现收藏于美国纽约市的所罗门古根海姆博物馆。
阿什顿形容康定斯基是试图在绘画中解决某些问题（这也可以理解为艺术目标）。康定斯基的每一次迭代都会向他提供反馈，让他知道自己是否距离解决问题更近了一步。最终，他从多次迭代的反馈中获得了足够的信息，创作出了自己想要的画作。（关于康定斯基的介绍摘自《思考的框架》一书）
五、何时效果相同，何时不同？当课程安排非常简单、学生学习能力很强且学习内容不复杂时，压缩课程到一个周内讲完，可能会取得与分阶段学习类似的效果。例如，如果这门课程的内容简单、学生之前有足够的预备知识，那么快速学习的效果可能与分阶段学习并无太大区别。
但当学习内容复杂、学生的基础较弱时，反馈的重要性就愈加突出。此时，如果没有足够的时间进行反馈和调整，学生的学习效果必然会受到影响。这时，分阶段学习的模式显然更加有效。
反馈不仅是对过去的总结，更是对未来的指引。
