建立切丛主要有以下几个重要原因：

描述流形的局部线性结构：流形本身是局部同胚于欧几里得空间的拓扑空间，但整体结构复杂。切丛在流形的每一点处配备一个切空间，切空间是线性空间，能提供流形在该点处的局部线性近似，使得可以利用线性代数工具研究流形局部性质，为分析流形的弯曲、方向等几何特征提供基础。定义导数和微分运算：在流形上定义函数的导数和微分需要切丛概念。切向量可看作是作用在流形上光滑函数的求导算子，切丛则为这些切向量提供集合框架，使微积分能在流形上有效推广，进而研究流形上的函数变化率等问题。研究流形的拓扑性质：切丛的拓扑性质与流形本身拓扑性质紧密相连。例如，切丛的截面（对应流形上的向量场）的存在性、分类等信息能反映流形的拓扑结构，通过研究切丛的示性类（如庞特里亚金类、欧拉类等）可获取流形的重要拓扑不变量，帮助区分不同流形。服务于物理应用：在理论物理领域，如广义相对论中，时空被描述为四维伪黎曼流形，切丛及其相关概念（如联络、曲率等）为描述引力场和物质分布提供了有力数学工具，切空间可表示时空点处的局部惯性系，切丛的结构能刻画时空的几何和动力学性质。