[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=11处的导数为41，则极限lim(△x→0)[f(11+45△x)-f(11)]/(58△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为41，其定义为：lim(△x→0)[f(11+△x)-f(11)]/(△x)= 41。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 45*[f(11+45△x)-f(11)]/(58*45△x)

=lim(△x→0) (45/58)*[f(11+45△x)-f(11)]/(45△x),

=(45/58)lim(△x→0) [f(11+45△x)-f(11)]/(45△x),

=(45/58)*41,

=1845/58.

例题2:有一物体的运动方程为s(t)=2t²+65/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=8时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(2t²+65/t)',

=2*2t-65/t²,

当t=8时，有：

v(8)=2*2*8-65/8²,

v(8)=191/64,

所以物体在时刻t=8时的瞬时速度为191/64。

例题：已知函数f(x)=(140x-14)lnx-92x²,求导数f'(1)的值。

解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。

∵f(x)= (140x-14)lnx-92x²，

∴f'(x)=140lnx+(140x-14)*(1/x)-2*92x

=140lnx+(140x-14)/x-184x.

所以: f'(1)=0+140-14-184=-58.

即为本题所求的值。

例题1：求函数f(x)=x(11x+14)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。

[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(11x+14)³+3x(11x+14)²*11

=(11x+14)²*(11x+14+3*11x)

=(11x+14)²*(4*11x+14)

当x=2时，有：

斜率k=f'(2)

=(11*2+14)²*(4*11*2+14)

=1296*102

=132192，即为本题所求的值。

例题2：若曲线y=61x/24-3lnx在x=x₀处的切斜的斜率为28/12,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=61/24-3/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

61/24-3/x₀=28/12，

即：3/x₀=61/24-28/12=5/24,

所以x₀=72/5.

[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。

例题1:已知函数f(x)=-1lnx+64x²/13+171，计算函数f(x)的单调递减区间。

解：对函数进行求导，有：

∵f(x)=-lnx+64x²/13+171

∴f'(x)=- 1/x+2*64x/13，

本题要求函数的单调减区间，则：

-1/x+2*64x/13＜0，

(-1*13+2*64x²)/(13x)＜0，

又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*64x²＜1*13，

即：x²＜13/128,

所以解集为：(0,(1/16)*√26).

例题2:已知函数f(x)=(x²+48x+604)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。

解：对函数求一阶导数有：

∵f(x)=(x²+48x+604)/eˣ

∴f'(x)=[(2x+48)eˣ-(x²+48x+604)eˣ]/e^(2x),

=(2x+48-x²-48x-604)/eˣ,

=-(x²+46x+556)/eˣ,

对于函数g(x)=x²+46x+556，其判别式为：

△=46²-4*556=-108<0,

即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，

此时:f'(x)= -(x²+46x+556)/eˣ＜0，

所以函数f(x)=(x²+48x+604)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。