近日，数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）正式接收了北京大学数学教授、被誉为“北大数学黄金一代”其中之一的袁新意独立完成的论文《算术大性与一致博格莫洛夫型结果》（Arithmetic bigness and a uniform Bogomolov-type result）。

《数学年刊》是世界顶级数学期刊之一，它和《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）、《数学学报》（Acta Mathematica）以及《美国数学会杂志》（Journal of the American Mathematical Society）一起，并称为数学“四大顶刊”。许多重要的数学研究成果，诸如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明，以及张益唐对孪生素数猜想的突破性进展等，都发表在《数学年刊》上。

2018年袁新意在加州大学伯克利分校讲课。（资料图）

袁新意教授的这篇论文，延续了他在算术几何，特别是丢番图几何领域一直以来的工作。同时，这也是对博格莫洛夫猜想及其相关问题研究的最新进展。

博格莫洛夫猜想，由科朗数学科学研究所教授费尔多·博格莫洛夫（Fedor Bogomolov）提出。这一猜想和一个古老的数学问题有关，那就是求解丢番图方程。

在数学上，方程是一个非常基本的概念。含有未知数的等式叫做方程，而求出方程中未知数的具体数值，或者证明方程不存在解的过程，就叫做“解方程”。数学家们求解各种方程的过程，贯穿了长达数千年的整个数学史。

所谓的丢番图方程，则是一类非常特殊的方程，这一类方程也被叫做“不定方程”。它指的是整数系数的多项式方程。而所谓的丢番图问题，指的是要求出丢番图方程的所有整数解，或者证明其不存在任何整数解。

例如，勾股定理“平面上的直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方”，用等式写出来为x^2+y^2=z^2。这就是一个丢番图方程。而“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是这个丢番图方程的一个解。

丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家丢番图。在其所著的著作《算术》（Arithmetica）中，就有关于丢番图问题的内容。

1637年，法国数学家费马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”

费马的这一论述，就是日后著名的费马大定理。这一定理的证明，则要等到费马写下这段话358年之后，由英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994得以证明。

费马大定理的内容，可以表述为：“丢番图方程x^n+y^n=z^n，在n>2时，不存在整数解”。也就是说，费马大定理也是一个特殊的丢番图问题。

实际上，像费马大定理这样，难以找到整数解，或者难以证明其不存在整数解的丢番图方程，是非常非常多的。正因为此，1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会提出的“希尔伯特二十三个问题”中的第十个问题，就是关于丢番图问题的可解性的。在第十问题中，希尔伯特问道：能否找到一种普遍的算法(algorithm)，可用来判定一个任意形式的丢番图方程是否有整数解，从而一劳永逸地解决这类问题？

1969年，年仅22岁的尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）在其博士论文中，给出了希尔伯特第十问题的否定解答。

马季亚谢维奇否定了希尔伯特一劳永逸地解决丢番图问题的想法。但是，数学家们对于丢番图问题的研究并未就此停止。

就在希尔伯特提出“希尔伯特二十三个问题”之后的1901年，和希尔伯特齐名的法国数学家庞加莱指出：复数域上的椭圆曲线上的有理点有无穷多个，并且这些有理点构成了一个有限生成的阿贝尔群。

庞加莱所说的椭圆曲线，包含了一大类丢番图方程。这类丢番图方程的整数解，自然就是该方程对应的椭圆曲线的有理点。所以庞加莱的这个断言，实际上就相当于指出了，有一大类丢番图方程存在无穷多个整数解，并且给出了这些整数解的内在结构和构造方法。

1922年，英国数学家路易·莫德尔（Louis J. Mordell）证明了庞加莱的这一断言。随后，在1928年，法国数学家安德烈·韦伊（André Weil）在他的博士论文中，将莫德尔的证明推广到了更加一般的情况下。

莫德尔和韦伊的工作，代表着研究丢番图方程的工具和方法，由初等数论转换成了代数几何。在此之后，数学家们逐渐发展出了一整套利用代数几何去研究数论问题的方法。按照代数几何的观点，一个丢番图方程，可以看做是空间中的一条代数曲线。由此，求解方程的整数解或者说有理数解，就转化成了关于曲线的有理点的研究。这些研究，发展出了叫做算术几何的数学分支。

而算术几何的一个核心问题，就是使用代数几何的方法，去研究丢番图问题。这也构成了算术几何这一数学分支的一个核心方向，即，丢番图几何。

在证明庞加莱的断言的过程中，莫德尔注意到，代数曲线的复杂度，会在很大程度上影响这条曲线上的有理点的数量。越复杂的代数曲线，它上面可能存在的有理点就会相对越少。

在拓扑、微分几何、代数几何等数学分支中，有一个衡量曲面或者流形复杂程度的指标，即所谓的亏格（Genus）。在最简单的情况下，亏格等同于曲面上“洞”的个数。一个足球，它所代表的曲面的亏格就是零。而一个甜甜圈代表的曲面的亏格则是一。当曲面上的洞越来越多时，曲面的亏格就越来越大，曲面也就变得越来越复杂。由此可以看出，亏格是一个非负整数，亏格越大，意味着曲面或者流形在几何上越复杂。

庞加莱断言中提到的椭圆曲线，作为代数曲线的亏格为一。也就是说，椭圆曲线是一类相对来说很“简单”的代数曲线。

由此，莫德尔提出了著名的莫德尔猜想：“对于亏格大于一的代数曲线，其上的有理点只有至多有限多个。”

可以看出，莫德尔猜想，对于相当多的丢番图方程的整数解的数量，给出了一个很强的范围限制。正因为此，莫德尔猜想自提出起，就引起了研究代数几何和算术几何的数学家们的极大兴趣。而针对莫德尔猜想的相关研究，也成为了算术几何这一数学分支的一个核心问题。

正如袁新意所说的：“算术几何一百年的历史，就是研究莫德尔猜想一百年的历史。”

上世纪六十年代，在研究莫德尔猜想的过程中，苏联数学家尤里·马宁（Yuri Manin），与美国数学家、1974年菲尔兹奖得主大卫·芒福德各自独立提出了后来被称为马宁-芒福德猜想的数学猜想。这一猜想指的是，对于亏格大于一的代数曲线，其上满足某些条件的有理点至多有有限多个。

可以看出，所谓的马宁-芒福德猜想，实际上就是一个弱化版的莫德尔猜想。而马宁-芒福德猜想的提出，也体现了数学家们在解决问题是的一种常用策略。那就是对于一时无法解决的难题，想办法去添加一些条件，或者弱化想要的结果。从而将无法解决的难题转化成一个相对容易解决的问题。通过解决这个相对容易解决的问题，来寻找最终解决难题的思路和方法。

除了莫德尔猜想所描述的，利用代数曲线的亏格来控制曲面上的有理点的数量之外，数学家们也在寻找其他的可以控制曲面上的有理点数量的指标，并且试图找到利用这些指标控制曲面上有理点数量的方法。

除了亏格之外，在算术几何与丢番图几何中，还有一个重要的函数：高度函数（Height Function）。和亏格类似，高度函数从另外一个角度，给出了一条代数曲线的复杂度的一个衡量指标。

1980年，博格莫洛夫利用高度函数，提出了现在被称作博格莫洛夫猜想的猜想：对于一个亏格大于一的代数曲线，它在特定的模空间中高度函数值很小的点只有有限多个。

可以看出，博格莫洛夫猜想，和莫德尔猜想一样，都是想要用代数曲线本身的复杂度给出代数曲线上的有理点数量的一个限制。

如果将博格莫洛夫猜想中高度函数的值取为零，那么博格莫洛夫猜想就会推出马宁-芒福德猜想。正因为此，博格莫洛夫猜想也被称作广义马宁-芒福德猜想。

1983年，时年29岁的德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了莫德尔猜想。因为这一工作，在1986年美国加州伯克利举办的国际数学家大会上，法尔廷斯获得了数学界的最高奖，菲尔兹奖。

同样是在1983年，王元院士给了自己的研究生张寿武一篇30页的论文，对他说：“看懂了就给你一个硕士学位。”这篇30页的论文，就是法尔廷斯证明莫德尔猜想的论文。

三年之后，张寿武还是没有看懂法尔廷斯的论文，但是他还是想办法完成了自己的硕士论文。在论文答辩之后，王元对张寿武说：“你讲的东西我们一个字也听不懂，但考虑到你每天8点之前就到办公室，很用功，这个硕士学位就送给你了，以后要靠真才实学才行。”

这三年对法尔廷斯论文的研读，让张寿武对算术几何这一数学分支和法尔廷斯的工作产生了巨大的兴趣。拿到硕士学位之后，张寿武想要去普林斯顿跟随法尔廷斯攻读博士学位。但是，在导师王元院士的建议下，张寿武去到了美国哥伦比亚大学，跟随解析数论专家多利安·哥德费尔德（Dorian Goldfeld）攻读博士学位。

最终，在几经波折之下，张寿武还是来到了普林斯顿，跟随法尔廷斯学习了一年，并取得了博士学位。在这一年里，张寿武了解了法尔廷斯做数学的方式：“法尔廷斯做数学碰到一座山，一般人是爬雪山过草地，找一条近路走走，但他是用推土机将山推平了或者用炸弹给炸掉，他不会用技巧来做这件事，他完全是用力量来做的，他是那种力量型的，这是我（张寿武）在数学家中唯一见到的风格，他的力量太大了，这对我的影响很大。”与此同时，张寿武也学到了做数学最重要的事情：“不是在图书馆里把别人的东西筹一筹，把别人的数学联在一起，而是从最基础的地方去做。”

博士毕业之后，张寿武继续留在普林斯顿做了六年助理教授。在这六年里，张寿武继续和法尔廷斯合作、学习。与此同时，张寿武也开始了自己对于算术几何这一数学分支的研究和贡献。

1998年，张寿武和法国数学家艾曼纽尔·于尔莫（Emmanuel Ullmo）一起，彻底证明了博格莫洛夫猜想。与此同时，就在证明博格莫洛夫猜想的1998年，张寿武还证明了博格莫洛夫猜想的一个推广形式。

尽管猜想得到了证明，但是对于博格莫洛夫猜想的研究并未就此停止。数学家们还在继续研究博格莫洛夫猜想的各种推广形式。

2003年，在北大读了三年的袁新意，提前完成了自己的本科学业，来到了美国，跟随当时在哥伦比亚大学担任教授的张寿武攻读博士学位。张寿武对袁新意给予了很高的评价：“袁新意是一个很沉稳的人，一般说来不会轻易对新问题下结论，他要先找很多反例，当找不到反例时，他就把它做出来了。他的基本功没人可比，如果他说一个结论是对的，就肯定是对的。”

而袁新意也没有让张寿武失望。2008年，袁新意取得了博士学位，并且还当选了2008年的克雷研究员（Clay Research Fellow）。这是首位获得该项荣誉的华人数学家。

克雷研究员是由提出了“千禧年大奖难题”的克雷研究所提供的一项荣誉职位。这一职位旨在为表彰那些在数学研究领域取得杰出成就并具有潜力的年轻数学家。该职位为当选者提供三到五年的薪资和经费支持，当选者可以选择在全球任何地方开展自己的研究工作。

实际上，早在2005年，袁新意博士第三年的时候，他就已经完成了自己的博士论文，可以毕业了。而当时的袁新意，也像曾经的张寿武一样，选择跟随导师多学习一段时间。对此，张寿武对袁新意，还有同为“北大数学黄金一代”，当时也在跟随自己攻读博士学位的张伟说道：“做完博士论文，我与你们的师生关系就结束了，你们不走，咱们就做个朋友，一起做做学问。”

围绕莫德尔猜想和博格莫洛夫猜想及其相关推广形式，关于算术几何和丢番图方程的研究，就这样经由法尔廷斯、张寿武，传到了袁新意的手里。

袁新意的研究领域主要涉及数论、算术几何、丢番图方程、代数动力系统等数学分支。在这其中，关于博格莫洛夫猜想相关问题的研究，也一直是袁新意在进行的工作。

在2022年，袁新意与谢俊逸合作的，关于几何化博格莫洛夫猜想的文章《任意特征下的几何化博格莫洛夫猜想》（Geometric Bogomolov conjecture in arbitrary characteristics）就发表在和《数学年刊》同为“数学四大顶刊”的《数学新进展》上。

而袁新意最近被《数学年刊》确认接收的这篇文章，则可以看做是袁新意在博格莫洛夫猜想相关问题研究中的最新成果。在这篇文章中，袁新意构造了一个准射影曲线族的可容许典范丛，通过证明该典范丛满足的某些性质，袁新意证明了所有特征的整体域上的一致博格莫洛夫型结果。这一结果被评价为为相关问题的研究提供了全新的视角和工具。

袁新意的这一结果，是他本人长期以来在数论、算术几何、丢番图方程等数学领域深耕的最新成果。

数学家们对莫德尔猜想以及博格莫洛夫猜想等一百余年研究，也体现了数学研究工作中的常态，那就是对于问题不断深入的研究和探索。也正是这种精神，使得数学这门学科发展成了现在这副模样。

南方周末特约撰稿 左力

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