司今（jiewaimuyu@126.com）

德布罗意

在量子力学发展史中，德布罗意是一位举足轻重的大家，他提出的物质波公式、原子的驻波理论及其后来的几率波解释等这些开创性的物理理论无不在量子理论的发现历程中起到承前启后的作用，后来薛定谔方程的建立也是在其理论上的延续。

薛定谔波函数方程

1923年到1924年间，光的波粒二象性做为一个普遍概念，已为人们所接受，而正在法国巴黎大学读物理博士的德布罗意于1924年向他的导师朗之万提交了他的博士毕业论文，文中认为，如同过去对光的认识比较片面性一样，我们现在对实体粒子的认知或许也是片面的，波粒二象性不只是光特有的现象，实物粒子也应有波粒二象性。

德布罗意与他的物质波理论

他假设：一个质量为m的实体粒子，以速度v做匀速运动，一方面可以用能量E和动量p对它作粒子性的描述，另一方面也可以用频率γ和波长 λ作波动性描述，能量E与频率γ，动量p与波长波λ之间的关系就与光子的能量与动量公式相类似，即

E=hγ，p=h/λ.

式中h为普朗克常数。

这两个方程既含有反映粒子的量又含有反映波的量，描述粒子性的量是能量E和动量p，描述波性的量则是波长λ和频率γ，所以上两式给出了粒子性和波动性的联系。

按照德布罗意假设，与作匀速运动的实物粒子相伴随的波之波长为

λ=h/p=h/mv.

这就是德布罗意波公式，它给出了实物粒子波动的波长与其质量、速度之间的关系。

举例说：在一电子束中，一个电子的运动动能为200eV，求这个电子运动时的德布罗意波波长。

求解是：由于电子的动能Ek=mv^2/2可得电子运动的速度v=(2Ek/m0)^1/2.

因为电子质量m0=9.1x10^-31kg，1eV=1.6x10^-19.J.带入数据得

v=(2x200x1.6x10^-19/9.1x10^-31)^1/2=8.4x10^6.ms^-1.

从上计算结果可以看出，由于v≤c，可不考虑相对论效应，用m0代替m，可求得电子运动的德布罗意波长为

λ=h/mv=6.63x10^-34/9.1x10^-31x8.4x10^6=0.887x10^-10.m.

在这个举例中，我们假设的是电子束中的一个电子运动是自由运动，没有受任何外在因素影响，这说明电子运动的能量只有动能一项，由此得出电子运动的动能是

Ek=mv^2/2=9.1x10^-31x(8.4x10^6)=3.21048x10^-17.J.

当我们用E=hγ计算电子波动时的能量时，因λ=vT=v/γ，就会得出

E=hγ=hv/λ=6.63x10^-34x8.4x10^6/0.867x10^-10=6.42353x10^-17.J.

将Ek与E比较可以发现，E=2Ek=mv^2，由此困惑：用电子波动E=hγ描述的能量为什么会比用电子平动描述的动能Ek=mv^2/2多出一倍呢？

普朗克与他的能量子

原来，德布罗意的粒子波动能量公式E=hγ是普朗克能量子ε=hγ概念的延续，而普朗克能量子是建立在一维谐振子概念之上的，且对一维谐振子的振动研究是放到旋转矢量圆上来描述。

一维谐振子

我们在《一维谐振子用与旋转矢量圆》一文中曾探讨过，旋转矢量圆是研究谐振动的一种比较直观的方法，可以避免一些繁琐的计算，在分析谐振动及其合成时常常用到，但必须指出，旋转矢量本身并不做谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在做谐振动；

旋转矢量圆

因此，一维矢量旋转也常被放在复平面上用复数来描述，如上图所示。

用复数描述的谐振动方程y=Acos(ωt+φ)+iAsin(ωt+φ)，其实部为实数简谐振动，是真实的简谐振动，虚部为辅助量，不是真实的简谐振动，但它与真实的简谐振动相位差为π/2，写成欧拉三角函数形式就是

当引入矢量圆以后，我们对谐振动能量的描述就可以放到圆运动上，即可以用

来描述谐振子能量，其中v是谐振子振幅矢量A端点的圆周运动速度，这个速度就是谐振子振动的最大速度v(max)，γ是A端点转动的角频率，如此可以得出

并且，我们还特别强调：认识到这一点很重要，因为它直接缔造了量子力学中“波粒二象性”的出现！

而h=2πmvr正是德布罗意在其驻波理论中对普朗克常数物理意义阐述的内容。

玻尔的轨道角动量量子化假设

为了解释玻尔原子理论中的轨道角动量量子化假设，德布罗意提出，电子运动有波粒二象性，当它以半径r绕原子核作稳定的圆轨道运动时，就相当于电子波在此圆周上形成了稳定的驻波，即稳定圆周周长与电子波动波长的关系为：2πr=nλ，λ为电子在圆周上波动的波长。

同一轨道上的德布罗意驻波λ=2πr/n

将它代入德布罗意物质波公式λ=h/mv中，就可以得出2πrmv=nh，并由此得出电子绕核运动的角动量分布公式就是：L=mvr=nh/2π；以此他认为这就是玻尔假设中电子轨道角动量量子化提出的物理本质，即认为电子之所以能够绕核稳定运动是因为电子在稳定轨道上能够形成驻波波动，并由此推理出玻尔能级轨道半径分布为rn=n²×r1，轨道能级分布是En=E1/n².

从上述描述中可以看出，德布罗意给出的电子绕核运动的驻波分布形态实质是指在一个确定的圆轨道上，电子绕核以波动形式运动的波长是λ=2πr/n，这说明电子在给定轨道上波动的波长是可以变化的，电子在给定轨道半径时的波长可以变化为：

λ1=2πr，λ2=2πr/2，λ,3=2πr/3……λn=2πr/n.

但在不同轨道上，电子运动形成的驻波也可以用λn=2π·rn/n的形式来描述。

不同轨道上的德布罗意驻波λn=2π·rn/n

不过，这里我们要注意，对2πrmv=nh而言，当n=1时，就有h=2πrmv，也就是说，普朗克常数描述的物理本质是角动量，这正是德布罗意驻波理论给出的普朗克常数物理本质的答案，但我们不禁要问，这个角动量为什么要表现为常数形式呢？

为此，我们在《从一维谐振子看普朗克常数的真正物理意义是什么？》一文中推理出：普朗克常数h的物理本质是将电子谐振子振动时辐射光子的能量用振幅旋转矢量圆来描述时，找出一个具有最小角动量h=2πr1×me×v1，然后作为旋转矢量圆角动量的最基本单位，以此去衡量其他较大的旋转矢量圆角动量，由此可见，普朗克常数h是对电子谐振子最小能量态下用最小旋转矢量圆描述的最小角动量表现形式。

电子谐振子用旋转矢量圆表示的能量ε=nhγ

通过上述分析，可见德布罗意公式λ=h/mv是由E=hγ=mv²得来的，即h=2πrmv，γ=1/T=v/2πr，λ=2πr，将它们代入hγ=mv²中可以得出λ=h/mv；但我们要明白，E=hγ=mv²本质是指电子绕核作圆周运动时，其能量即可以用E=mv²来定量描述，也可以用E=hγ来定量描述，这并不是说电子绕核运动具有波动性，而是说圆周运动能量可以用圆周运动的频率γ性来定量描述，从这个意义上来说，波粒二象性并不存在。

旋转矢量

总之，当粒子作圆周运动的能量用E=hγ来描述时，则就会有E=mv²的相对应描述形式出现，E=mv²与我们平时用的粒子运动动能E=mv²/2的描述正好相差一倍，这是为什么？——对此请参阅本头条号《动能定义分析及圆周运动动能之修正初议》一文，同时也可以看出，爱因斯坦的光子能量公式ε=hγ与他的质能方程Ek=mc²正是这种情况的翻版罢了。

爱因斯坦与他的E=mc²