六年级竞赛:全军覆没!咋不超纲求解?巧用对称性,答案可口算!

贝笑爱数学 2024-02-02 17:05:40

此前发布了一道小学六年级竞赛题:求圆内不规则图形面积!班上一个做对的都没有,全军覆没,学霸也未能幸免!不少同学还认为题目严重超纲!关于此题,方法不对,绞尽脑汁也无济于事;方法对了,答案则可口算!

六年级竞赛题,【贝笑题集】第470题:如图一,

图一

四分之一圆AOB的半径为4,CD为其弧上三等分点即圆弧AC、圆弧CD和圆圆弧DB的弧长相等,过C、D分别作OB的垂线CE与DF,求阴影部分图形面积(计算时,保留π)。

小学还没学的知识:三角形全等,直角三角形内30°角对应的直角边为斜边的一半,勾股定理等。

误区或陷阱:求DF、OF、OE及CE!若求,必定用到超纲知识!

一、超纲解析之一:求DF、OF、OE及CE!

①连接OC和OD,如图二

图二

②由C、D为圆弧三等分点可知,∠AOC=∠COD=∠BOD=30°。

③注意到∠COE=∠BOC=∠COD+∠BOD=60,由直角三角形内30°角对应的直角边等于斜边的一半,可得OE=DF=1/2OA=2,CE=OF=√3/2OA=2√3。故S△COE=S△DOF=2√3。

④由③可得,S阴影=S扇形COD+S△DOF-S△COE=S扇形COD=16π/12=4π/3。

二、超纲解析之二:三角形全等!

由解析一可知,△COE与△DOF的对应角相等,且斜边长均等于半径。故由角角边判定可知,△COE与△DOF全等,从而S△COE=S△DOF。因此,S阴影=S扇形COD+S△DOF-S△COE=S扇形COD=4π/3。

三、不超纲解析:对称性!

①在图二的基础上,过点C作AB的垂线CG,记为圆弧AB的中点为H,连接OH,如图三

图三

②显然,△COG与△DOF关于OH对称。故S△COG=S△DOF。

③注意到CEOG为长方形。由对角线平分长方形面积,可得S△COG=S△COE。进而由②可知,S△DOF=S△COG=S△COE。

④S阴影=S扇形COD+S△DOF-S△COE=S扇形COD=4π/3。

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贝笑爱数学

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