小学竞赛题:严重超纲,难倒中学生!求角度:先构造等边三角形!

贝笑爱数学 2024-02-11 19:57:54

此前发布了两道小学数学竞赛题:三角形仅一内角已知,求另一内角角度!难度非常大,且严重超纲,中学生也未必能做出来,甚至多数中学生会被难倒!

这两道竞赛题的求解,有两个共同点:

①均需使用超纲知识:直角三角形内,斜边中线、30°角对应边均等于斜边的一半!

②均需构造性证明:构造一个等边三角形!

五年级竞赛题,【贝笑题集】第527题: 如图一,

图一

D为△ABC边BC上一点,∠ABC=45°,∠ADC=60°,CD=2BD,求∠ACD。

超纲解析:构造等边三角形DEF!

①过点C作AD的垂线CE,记CD中点为F,连接EF。如图二

图二

②DE=DF=EF,故△DEF为等边三角形。

③BD=DF=DE,故△BDE为等腰三角形,即有∠EBD=∠BED=30°。

④∠EBD=∠DCE=30°,故BE=EC。

⑤由∠EBD=30°可知∠ABE=∠BAE=15°,即有BE=AE=CE。

⑥因此△ACE为等腰直角三角形,即得∠ACE=45°,∠ACD=75°。

六年级竞赛题【贝笑题集】第520题:如图三,

图三

点D为△ABC底边BC上中点,∠B=15°,∠C=30°,求∠BAD。

超纲解析:构造等边三角形BDE!

①过点B作CA延长线的垂线BE,连接DE。如图四

图四

②直角三角形内,斜边中线、30°角对应直角边为斜边的一半,故BE=BD=DE,即△BDE为等边三角形。

③∠ABE=60°-15°=45°=∠BAE,故△AEB为等腰直角三角形。

④BE=AE=DE,故△AED为等腰三角形,即有∠DAE=∠ADE。

⑤注意到∠AED=30°,故∠DAE=∠ADE=75°,∠BAD=∠DAE-∠BAE=75°-45°=30°。

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3 阅读:2318
评论列表
  • 2024-02-24 17:45

    在AD上取一点E,令DE=BD,取CD中点F,连接BE,CE,EF由已知条件,可知角EBD=角BED=30度,角BAD=60-45=15度,角ABE=45-30=15度,故三角形ABE为等腰三角形,且BE=AE.三角形CEF为等腰三角形且CF=EF,三角形DEF为等边三角形。因此角ECF=角CEF=30度=角EBD,AE=BE=CE,角CED为直角,三角形AEC为等腰直角三角形,故角DAC=45度,角ACD=75度。

  • 2024-02-13 16:49

    图一的题,利用角ACD这个外角等于两个内角之和,做题应该要简单得多。不用做全等也不用取CD中点。

    lanmaolanmao 回复: 家园
    CE垂直AD,角ADC为60度,故DE=1/2CD=BD,角DCE为30度,故角DBE等于角DEB,都等于角外角ADC的1/2为30度,故CE等于BE,角BAC等于角ADC减角ABD等于15度,由于角DBE为30度,故角ABE为15度,故AE等于BE等于CE,结合CE垂直AD,所以角ACE为45度,加上角DCE的30度,故角ACB为75度。
    家园 回复:
    不说简单,你能给证一下?
  • 2024-02-22 17:36

    做条垂线就敢说那个60度的是等边三角形?

    NEW ENDING 回复:
    F点是中点没毛病
  • 2024-03-06 16:51

    已经看不懂了,坐标医学硕士[笑着哭]

  • 2024-02-24 17:49

    文中第一题的解法是超纲解法,应设定ED=BD,然后用等角对等边去解才符合大纲。

  • 2024-02-15 02:03

    这个也难啊,只是程序比较长,并不难

贝笑爱数学

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