1.积分∫dx/(x²-12x+63)的计算。

解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=12²-4*63<0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C变形计算即可，有：

∫dx/(x²-12x+63)

=∫dx/(x²-12x+36+27),

=∫dx/[(x-6)²+27],

=(1/27)∫dx/[1+(x-6)²/27],

=(1/√27)∫d(x/√27)/[1+(x-6)²/27],

=(1/√27)arctan[(x-6)/√27]+C。

2.计算∫(38x-17)dx/(19x²-17x+24)。

解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(19x²-17x+24)'=38x-17，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式∫dx/x=lnx+c来变形计算。

∫(38x-17)dx/(19x²-17x+24)

=∫d(19x²-17x)/(19x²-17x+24),

=∫d(19x²-17x+24)/(19x²-17x+24),

=ln|19x²-17x+24|+C。

3.计算∫(3x²-33)²dx.

解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：

∫(3x²-33)²dx

=∫(3²x⁴-198x²+33²)dx,

=∫3²x⁴dx-∫198x²dx+∫33²dx,

=1/5*3²x⁵-1/3*198x³+33²x+C.

思路二：通过分部积分进行计算，有：

∫(3x²-33)²dx

=(3x²-33)²x-∫xd(3x²-33)²，

=(3x²-33)²x-4*3∫x²(3x²-33)dx，

=(3x²-33)²x-4*3∫(3x⁴-33x²)dx，

=(3x²-33)²x-4*3²∫x⁴dx+4*3*33∫x²dx,

=(3x²-33)²x-(4/5)*3²x⁵+2/3*198x³+C。

4.计算∫(83/60x+10x/9)²dx.

解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：

∫(83/60x+10x/9)²dx

=∫[(83/60x)²+2*83/60*10/9+(10x/9)²]dx,

=(83/60)²∫dx/x²+83/27∫dx+(10/9)²∫x²dx,

=-(83/60)²/x+83x/27+1/3*(10/9)²x³+C。

5.计算∫(5x³-22x²+41)^67(15x²-44x)dx不定积分计算

解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(5x³-22x²+41)'=15x²-44x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：

∫(5x³-22x²+41)^67(15x²-44x)dx

=∫(5x³-22x²+41)^67d(5x³-22x²+41),

=(1/68)*(5x³-22x²+41)^68+C.

6.计算∫xln(39x-98)dx。

解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：

∫xln(39x-98)dx

=(1/2)∫ln(39x-98)dx²，

=(1/2)x²ln(39x-98)-(1/2)∫x²dln(39x-98),

=(1/2)x²ln(39x-98)-(39/2)∫x²dx/(39x-98),

=(1/2)x²ln(39x-98)-∫(x+98/39)dx-

(98/39)²∫d(39x-98)/(39x-98)

=(1/2)x²ln(39x-98)-(1/2)x²-98x/39-