y=3/(8x²+x+4)的二阶导数

主要内容：

本文通过函数商的求导、函数乘积的求导法则及函数导数的定义法，介绍求函数y=3/(8x²+x+4)一阶和二阶导数的主要过程和步骤，同时举例介绍一阶导数的应用。

一、多种方法求一阶导数

函数商求导法：

y=3/(8x²+x+4)

y´=[3´(8x²+x+4)-3(8x²+x+4)´]/(8x²+x+4)²

=(0-48x-3)/(8x²+x+4)²

=-3(16x+1)/(8x²+x+4)².

函数乘积求导法：

y=3/(8x²+x+4)，即：

y(8x²+x+4)=3,两边同时对x求导得：

y´(8x²+x+4)+y(16x+1)=0,

y´(8x²+x+4)=-y(16x+1)

y´=-y(16x+1)/(8x²+x+4),则：

y´=-3(16x+1)/(8x²+x+4)².

导数定义法：

y´=lim(t→0){3/[8(x+t)²+(x+t)+4]-3/(8x²+x+4)}/t

=3lim(t→0){(8x²+x+4)-[8(x+t)²+(x+t)+4]}/

{t[8(x+t)²+(x+t)+4](8x²+x+4)}

=-3lim(t→0)(8t²+16tx+t)/{t[8(x+t)²+(x+t)+4](8x²+x+4)}

=-3lim(t→0)(8t+16x+1)/{[8(x+t)²+(x+t)+4](8x²+x+4)}

=-3(16x+1)/(8x²+x+4)².

一阶导数的应用

例如分别求点A(0，3/4),B（-1/16,96/127）处的切线。

对于点A处，横坐标x=0，则：

切线的斜率kA=-3/16,即：

此时切线方程为：y-3/4=-3x/16。

对于点B处，横坐标x=-1/16,则：切线的斜率KB=0,

即此时切线方程为：y=96/127。

二、函数商求二阶导数

∵y´=-3(16x+1)/(8x²+x+4)²

∴y´´=-3[16(8x²+x+4)²-2(16x+1)(8x²+x+4)(16x+1)]/

(8x²+x+4)⁴

=-3[16(8x²+x+4)-2(16x+1)²]/(8x²+x+4)³

=-6[8(8x²+x+4)-(16x+1)²]/(8x²+x+4)³

=6(192x²+24x-7)/(8x²+x+4)³.