介绍两种方法计算含有xy乘积的二元函数的最小值

※.问题由来

若实数x,y满足W(x,y)=901x ²-60xy+y²-20y+654x+779,则w的最小值是多少？

本题主要考查配方法及导数的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．

※.配方法求解

运用配方法将W(x,y)=901x²-60xy+y²-20y+654x+779变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

解：W(x,y)=901x²-60xy+y-20y²+654x+779

=900x²-60xy+y+600x-20y²+100+x²²+54x+729-50

=(30x-y)²+20(30x-y)+100+(x+27)²-50

=(30x-y+10)²+(x+27)²-50

∵x,y为实数，

∴(30x-y+10)²≥0，(x+27)²≥0,

此时x=-27，y=-800,

∴W的最小值为：Wmin=-50.

※.导数法求解

W(x,y)=901x²-60xy+y²-20y+654x+779，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=1802x-60y+654,

W|y’=-60x+2y-20;

令W|x’=W|y’=0，则：

60y-1802x=654,

2y-60x=20.

解二元一次方程组，有：

x=-27,y=-800;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-27,-800)

=901*(-27)²-60*(-27)*(-800)+(-800)²

²-20*(-800)+654*(-27)+779,

=656829-1296000+640000--16000+(-17658)+779,

=-50.