七道数学极限练习题及计算过程

1.计算lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)

=lim(n→∞)(17/n-12/n⁴)/(13+5/n³-24/n⁴),

=0。

2.计算lim(n→∞)(37n-11n-38)/(4+3n-12n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)

=lim(n→∞)(37-11/n-38/n²)/(4/n+3/n-12),

=(37-0)/(0-12),

=-37/12。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)

=lim(n→∞)(74n-11)/(3-24n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(74-0)/(0-24)，

=-37/12。

3.求极限lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-3)/[(x-1)(x³+x²+x-5)],

=lim(x→1)(x²+x-3)/(x³+x²+x-5),

=(1+1-3)/(1+1+1-5),

=1/2。

4.求lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x)，

=lim(x→0)(26+4sin10x/x)/(6-12sin8x/x)，

=lim(x→0)(26+40sin10x/10x)/(6-96sin8x/8x)，

=(26+40)/(6-96)，

=-11/15。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x)，

=lim(x→0)(26+4*10cos10x)/(6-12*8cos8x)，

=(26+4*10)/(6-12*8)，

=-11/15。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(4x+1)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[4+(1/x)],

=1/{lim(x→∞)[4+(1/x)]},

=1/4。

6.求lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x

=lim(x→0)2cos43xsin(-28x)/sin28x,

=lim(x→0)-2cos43x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x,

=lim(x→0)(15cos15x-sin71cos71x)/(28cos28x)，

=lim(x→0)(15-71)/28，

=-2。

7.求lim(x→0)(1+14x)^(2/11x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+14x)^(2/11x),

=lim(x→0){[(1+14x)^(1/14x)]}^(2*14/11),

=e^(2*14/11),

=e^(28/11)。