通过不等式公式法、导数法、判别式法，介绍x在取正数时，代数式x/(2x²-6x+7)的最大值。

1.正数a，b有不等式公式：a+b≥2√ab;

2.函数商的导数公式(u/v)＇=(u＇v-uv＇)/v²。

x/(2x²-6x+7),分子分母同时除以x得：

=1/(2x+7/x-6)。

∵x>0，则1/x>0,可用不等式公式，

∴2x+7/x≥2√14，

此时代数式y=x/(2x²-6x+7)有最大值，即：

ymax=1/(2√14-6)

=(√14+3）/10。

设：y=x/(2x²-6x+7)

则：2yx²-6yx+7y-x=0

2yx²-(6y+1)x+7y=0,

对x的二次方程有正数解，则判别式△≥0.

对于本题：

判别式△=(6y+1)²-56y²≥0，即：

(1)当6y+1≥2√14y时，有：

(6-2√14)y≥-1，

则：y≤(√14+3）/10。

(2)当6y+1≤-2√14y时，有：

(6+2√14)y≤-1，

此时求解的y小于(1)中的情况，即得：

代数式的最大值为(√14+3）/10。

设：y=x/(2x²-6x+7)，对函数求导得：

dy/dx

=[2x²-6x+7-x(4x-6) ]/( 2x²-6x+7)²

=-(2x²-7)/( 2x²-6x+7)²

令dy/dx=0,则：

2x²-7=0,即x=√14/2，x的负值舍去。

讨论情况如下：

当x∈(0,√14/2)时，dy/dx>0,此时函数y为增函数；

当x∈[√14/2,+∞]时，dy/dx<0，此时函数y为减函数。

所以当x=√14/2时，函数y取到最大值，即：

ymax

=f(√14/2)

=√14/2/[2*(√14/2)²-6*√14/2+7]

=(√14+3）/10。