思考🤔：大家且看封面图，请问黑点（牛）在曲线内还是在曲线外？

如果你要是按照图形去分析那估计得花不少时间......

怎么办？

在数学上，一般几何法做不到的事，可以考虑用代数法。同理，代数分析不了的，又可以用几何法。

关于这个黑点（牛）在内或者在外的问题，我们用代数法是非常简单的。我会在今天的内容里告诉大家如何解决。

好，接下来，我们带着这个问题一起来研究一下若尔当曲线定理问题。

没错，实际封面那张图其实就是典型的若尔当曲线的部分截图，看似很复杂，但实际若尔当曲线还有很多简单的图像，比如一个圆。

当然，每次提到“若尔当曲线定理”，大部分人的第一反应可能是“这是什么？”

确实，这个定理听起来像是只存在于数学家的抽屉里，或者是某个高级数学课程的考试题目。

然而，若尔当曲线定理其实蕴含着一种我们生活中常常遇到的直观几何现象。

01 什么是若尔当曲线定理？

若尔当曲线定理（Jordan Curve Theorem）是由法国数学家卡米尔·若尔当（Camille Jordan）在1887年提出的。

这个定理看似简单，却对拓扑学——也就是研究空间性质的数学分支，产生了深远的影响。

若尔当曲线定理的说明。若尔当曲线（黑色）把平面分成一个“内部”区域（浅蓝色）和一个“外部”区域（粉红色）。

它的核心内容可以用一句话概括：一条简单的闭合曲线将平面分割成两个区域——内区域和外区域，且它们互不相连。

换句话说，如果你在纸上画一条不交叉、不重叠的闭合曲线（比如一个圆），那么这条曲线把平面分成了“里面”和“外面”两个区域，无论你怎样画，这一现象都不会改变。

这听起来有点像常识对吗？

但在数学中，要证明这些“显而易见”的事实，有时需要极为精细的逻辑推理。

也就是说，你如何证明你圈内和圈外，需要用数学定理来证明。

为什么如此呢？举个例子。

假如你要和一个外星文明交流，而这个时候，他们没有视觉，也看不到一个点在圈内还是圈外。但是他们可以感知数学定理。

那么数学就是宇宙间交流的桥梁。

02 从生活中找到“若尔当曲线”的影子

我们生活中充满了“闭合曲线”以及“内外分割”的例子。

例如，当你在沙滩上用脚画了一个圈，你会发现圈的内部和外部是泾渭分明的；

当你在地板上画出一个大圆，也能直观地理解有“圈内”和“圈外”之分。

也许你从来没有意识到，这种显而易见的现象背后有一个强大的数学定理在支撑。

一个更有趣的例子是围墙。

如果我们在地上筑起一堵围墙，将它围成一个封闭的空间，那你站在围墙里面和外面也是完全不同的。

这也是若尔当曲线定理的生动体现：围墙分隔出了内部和外部。而这堵围墙的轨迹在数学上就被称为“闭合曲线”。

03 “简单”的背后：为何证明它这么难？

你可能会问：“既然这看起来这么简单，那为什么要专门有一个定理来证明？”

事实上，虽然在视觉上我们能够轻松理解“里面”和“外面”的概念，但要将这个概念通过严密的数学语言来表达和证明却并不简单。

举个例子，当我们说“简单闭合曲线”时，实际上指的是没有任何自交点的曲线，也就是说，这条曲线不会自己碰到自己。

而要证明这条曲线确实将平面分成了两个不相交的区域——里面和外面，需要考虑各种特殊情况，比如曲线的形状可能非常复杂，甚至可能无穷地弯曲。

而拓扑学中的一个关键任务就是研究这些复杂曲线的性质，找出背后的规律。

早期的数学家花了相当长的时间来构造一个严密的证明。

虽然直观上这个结论似乎毫无疑问，但直到19世纪末，数学家们才终于成功给出了严格的证明。这个证明需要依赖于几何、分析学、以及现代拓扑学中的很多深奥工具。

数学证明论文截图

04 定理的应用：从地图绘制到计算机图形学

那么，若尔当曲线定理有什么实际应用吗？

答案是肯定的，且应用广泛。这个定理不仅在数学领域产生了重要影响，在现代科技中也有很多实际用途。

1️⃣ 地图绘制与区域划分

地图上的国家边界线就是一个典型的“闭合曲线”应用。

若尔当曲线定理帮助我们理解国界如何将地图分割成“国家内”和“国家外”两个区域。

任何国界线，不论它多么曲折，都会将地图分割成内部和外部，这是地图绘制中的基本几何原理。

2️⃣计算机图形学与游戏设计

《塞尔达传说》

若尔当曲线定理还在计算机图形学和游戏设计中扮演着重要角色。在游戏或3D建模中，我们经常需要处理复杂的闭合曲面，这些曲面可以看作是三维空间中的若尔当曲线。

这些曲面将空间分割成“内”和“外”，而这种分割对于光影渲染、物体碰撞检测等计算至关重要。

如果你玩过某些开放世界游戏，你可能注意到角色穿越了某些不可逾越的“边界线”——这些边界的存在确保了角色只能在特定范围内行动。

若尔当曲线定理的逻辑帮助游戏设计者定义了这些边界的内外，让虚拟世界的“物理法则”得以生效。

比如，

《GTA V》

开放世界类游戏中，比如《塞尔达传说：旷野之息》（The Legend of Zelda: Breath of the Wild）或《GTA V》，游戏地图通常非常大，玩家可以自由探索。

然而，尽管地图庞大，游戏世界仍然有一个明确的边界，这些边界可以用来防止玩家进入不允许探索的区域或场景外的空白区域。

3️⃣图像识别与处理

在图像识别中，若尔当曲线定理也扮演了关键角色。

我们常常需要将图像中的物体“圈起来”，以便对其进行进一步处理。

例如，在人脸识别中，算法可能需要将一张人脸从背景中分离出来，这时候闭合曲线就起到了关键作用。

当我们用智能手机拍照时，背景虚化功能其实也在使用类似的原理：它会首先识别出物体的边界线（闭合曲线），然后根据这条曲线判断物体的“内部”和“外部”，再对外部进行虚化处理。

05 拓扑学的“门槛”

若尔当曲线定理不仅仅是数学家的一块试金石，它还是进入拓扑学领域的一个重要起点。

拓扑学研究的是那些即使经过连续变形（比如拉伸、弯曲、扭转）也不会改变的几何性质，而若尔当曲线定理就是这类研究的基石之一。

举个例子，我们可以把一个圆环变形成一个正方形、三角形甚至其他复杂的曲线，只要它不交叉、不破裂，若尔当曲线定理仍然成立。

这种不变性展示了拓扑学的强大与灵活，也让它成为了物理学、计算机科学等领域中不可或缺的工具。

最后，假如你需要给对数学不熟悉的新人解释若尔当曲线定理，最好的方法是通过具体的例子和类比。

比如，你可以让他们在纸上画一个简单的圈，然后问他们圈的“里面”和“外面”有什么不同。

接着，你可以解释说，无论圈的形状多么复杂，只要它是封闭的，这个“内外分割”的现象总是存在。

你还可以类比为现实中的围墙、国界线，甚至是在虚拟游戏世界中的地图边界，让他们明白，这种“内外分割”不仅是日常生活中常见的现象，也是数学中深刻的定理。

那么开头那个图形的黑点（牛）究竟在圈外还是圈内呢？

想确定一个点是在一条简单闭合曲线的内部还是外部，首先找出肯定位于曲线外部的一个点，然后画一条线将两个点连起来。

然后数一下你画的这条连线与曲线本身相交多少次。

如果连线与曲线相交了奇数次，那这个点就在曲线内部；如果连线与曲线相交了偶数次，那这个点就在曲线外部。

8个相交点，为偶数次，说明牛在圈外面。

问❓：鸭子在里面还是外面，同样的方法！

来源《唤醒心中的数学家》案例

结语

这就是若尔当曲线定理的魅力：从简单的图形出发，却揭示了深刻的几何和拓扑原理，帮助我们更好地理解空间的本质。