导数的几何意义应用举例

例题1：求函数f(x)=x(18x+22)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。

[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(18x+22)³+3x(18x+22)²*18

=(18x+22)²*(18x+22+3*18x)

=(18x+22)²*(4*18x+22)

当x=2时，有：

斜率k=f'(2)

=(18*2+22)²*(4*18*2+22)

=3364*166

=558424，即为本题所求的值。

例题2：若曲线y=13x/7-2lnx在x=x₀处的切斜的斜率为5/9,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=13/7-2/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

13/7-2/x₀=5/9，

即：2/x₀=13/7-5/9=82/63,

所以x₀=63/41.