函数y=17/(x^3+1)的函数性质及其图像

吉禄学阁课程 2024-03-21 16:13:52

※.主要内容:

本文主要介绍分数函数y=17/(x^3+1)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质,并通过导数知识求解该函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数的定义域

根据分式函数的定义要求,有:

分母x^3+1≠0,则x≠-(1/1)3√1≈-1.00。

则函数y的定义域为全体实数,即定义域为:(-∞,-(1/1)3√1)∪(-(1/1)3√1,+∞)。

※.函数的单调性:

因为u=x^3+1,为三次幂函数,

在定义域上为增函数,所以取倒数y=c/u为减函数,

即区间(-∞,-1)∪(-1,+∞)为减区间。

或者,用导数知识求解有:

y=17/(x^3+1),

dy/dx=-51*x^2/(x^3+1)^2<0,

即此时函数y为减函数。

※.函数的凸凹性:

dy/dx=-51*x^2/(x^3+1)^2,

d^2y/dx^2

=-51*[2x(x^3+1)^2- x^2*6*x^2(17x^2+1)]/(x^3+1)^4,

=-102*[x(x^3+1)- 3x^4]/(x^3+1)^3,

=-102x*(x^3+1- 3x^3)/(x^3+1)^3,

=102x(2x^3-1)/(x^3+1)^3,

令d^2/dx^2=0,则x^3-2=0,即x=(1/2)3√4≈0.79,同时结合分母的间断点,

此时函数的凸凹性为:

(1)当x∈(-1,0),((1/2)3√4,+∞)时,d^2y/dx^2≥0,则此时函数y为凹函数;

(2)当x∈(-∞,-1),[0,(1/2)3√4]时,d^2y/dx^2<0,则此时函数y为凸函数。

※.函数的五点图:

※.函数的图像:

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