高中数学：利用导数知识画函数图像（八十四）

函数y=(3x³+x²)/(x-1)²的示意图及其主要性质

通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(3x³+x²)/(x-1)²示意图的主要步骤。

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：(-∞,1)∪(1,+∞）。

求出函数的一阶导数，如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)大于0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)小于0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

∵y=(3x³+x²)/(x-1)²

∴dy/dx

=[(9x²+2x)(x-1)²-2(x-1)(3x³+x²)]/(x-1)^4

=[(9x²+2x)(x-1)-2(3x³+x²)]/(x-1)³

=x[(9x+2)(x-1)-2(3x²+x)]/(x-1)³

=x(3x²-9x-2)/(x-1)³。

令dy/dx=0，则x1=0或3x²-9x-2=0.

当3x²-9x-2=0时，有：

x2=(9-√105)/6，x3=(9+√105)/6.

(1).当x∈((9-√105)/6,0), (1,(9+√105)/6]时，

dy/dx＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞，(9-√105)/6],[0,1),((9+√105)/6，+∞)时，

dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

计算函数的二阶导数，判断导数的符号，如果二阶导数大于0，则函数在定义域上为凹函数，如果二阶导数小于0，则函数在定义域上为凸函数。

∵dy/dx=(3x³-9x²-2x)/(x-1)³

∴d²y/dx²

=[(9x²-18x-2)(x-1)³-3(3x³-9x²-2x)(x-1)²]/(x-1)^6

=[(9x²-18x-2)(x-1)-3(3x³-9x²-2x)]/(x-1) ⁴

=(22x+2)/(x-1) ⁴

=2(11x+1)/(x-1) ⁴。

令d²y/dx²=0,则：

则: 11x+1=0，即x=-1/11.

(1).当x∈(-∞，-1/11)时，d²y/dx²＜0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-1/11,1)∪(1，+∞)时，

d²y/dx²＞0，此时函数y为凹函数。

lim(x→-∞)(3x³+x²)/(x-1) ²=-∞

lim(x→1+)(3x³+x²)/(x-1)²=+∞

lim(x→1-)(3x³+x²)/(x-1) ²=+∞

lim(x→+∞)(3x³+x²)/(x-1) ²=+∞