求y=arctan[83x+1/(72x-90)]的导数计算

主要内容：

本文通过复合函数求导、反函数求导等方法，介绍计算y=arctan[83x+1/(72x-90)]导数的主要过程。

主要步骤：

※.直接求导法

解：对于反正切函数y=arctanx，其导数为y=1/(1+x^2)，

本题是正切函数的复合函数，其求导过程如下：

dy/dx=[83x+1/(72x-90)]'*1/{1+[83x+1/(72x-90)]^2}

=[83-72/(72x-90)^2]*(72x-90)^2/{(72x-90)^2+[83x(72x-90)+1]^2}

=[83(72x-90)^2-72]/{(72x-90)^2+[83x(72x-90)+1]^2},

※.反函数求导法

反函数的求导公式为：[f^(-1)(x)]'=1/f '(y)。

对于本题，函数y=arctan[83x+1/(72x-90)]的反函数为：

tany=83x+1/(72x-90)，

此时有：y'=1/(tan'y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=83x+1/(72x-90)两边平方有：

(tany)^2=[83x+1/(72x-90)]^2，即：

(tany)^2=[83x(72x-90)+1]^2/(72x-90)^2,

进一步代入导数中并化简可有：

y'=1/{1+[83x(72x-90)+1]^2/(72x-90)^2}*[83x+1/(72x-90)]'

=(72x-90)^2/{[83x(72x-90)+1]^2+(72x-90)^2]}*[83-72/(72x-90)^2]

=[83(72x-90)^2-72]/{(72x-90)^2+[83x(72x-90)+1]^2}。