若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形。如菱形就是和谐四边形。
(1)如图一,在8×5的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个△ABC，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出3个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐线四边形，并画出相应的和谐四边形；
（2）如图二，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个△ABC，点A、B、C均在格点上，请在给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
(3)如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=40°,∠C=80°，BD平分∠ABC.求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
(4)四边形ABCD中,AB=AD=BC=2,∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求CD的长度以及对应∠BCD的度数。
真题解析(1)由题意作图为：
(2)由题意作图为：
（3）
∵∠ABC=40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=20°
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=20°
∴∠ABD=∠ADB
∴△ADB是等腰三角形
在△BCD中，∠C=80°，∠DBC=20°
∴∠BDC=∠C=80°
∴△BCD为等腰三角形
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（4）思路分析
由AB=AD =2,∠BAD=90°可得△ABD是等腰直角三角形，可固定不变
点B固定不变，且BC=2,则点C在以点B为圆心，2为半径的圆上，且△ABC恒为等腰三角形
因为AC是和谐线且△ABC恒为等腰三角形，所以只要△ACD是等腰三角形即可。所以，分类思想，三种情况：AD=AC（以点A位圆心2为半径作蓝色圆，交于点） ; AD=CD（以点D位圆心2为半径作绿色圆，交于点） ; AC=CD（作AD的垂直平分线，交于点） ，如下图所示：
解答：
① AD=CD（以点D位圆心2为半径作绿色圆，交于点），如图，易证四边形ABCD是正方形，此时，CD=2，∠BCD=90°
② AD=AC（以点A位圆心2为半径作蓝色圆，交于点）
易证是等边三角形，所以==60°易求=30°，75°
求CD：
解法一: 作AE⊥CD，CF ⊥AD
∵Rt△ACF中，∠CAD=30° ， AC=2,
.∴CF=1,
=*AD*CF=1,
又∵
∴xy=1
又∵Rt△AED中，
解之得 ，即CD=
