五星运动的不均匀性现象及其改正方法,在我国古代是由北齐张子信约于560年最早发现和提出的。其后,在刘焯的皇极历(604年)、张胄玄的大业历(607年)、傅仁均的戊寅历(619年)、李淳风的麟德历(665年)和徐承嗣的正元历(783年)等五种历法中,均因循张子信的方法,只是在具体改正数值上稍有修正,这一方法可统称为五星入气加减法。自一行大衍历(728年)以后,绝大多数历法对五星运动不均匀性改正的计算,从形式到内容都发生了重大的变革,遂使五星入气加减法成为我国古代五星运动不均匀性改正的早期方法载入史册,本文拟对该法及其精度进行初步的讨论。
张子信发明的五星入气加减法,史籍仅留存片段零星的资料。而关于该法系统而完整的记载,则首见于《隋书.律历志下》的皇极历中,此后《隋书.律历志中》、《新唐书.历志一》、《新唐书.历志二》和《新唐书.历志五》所载的大业、戊寅、麟德、正元四历亦各有记述,兹分别讨论如下:
木星皇极历术曰:
“平见,在春分前,以四乘去立春日;小满前,又三乘去春分日,增春分所乘者;[白露前,以四乘去小暑日],白露后,亦四乘去寒露日;小暑,加七日;小雪前,以八乘去寒露日;冬至后,以八乘去立春日,为减,小雪至冬至减七日。”
这是五星入气加减法的典型描述方式。说的是由于木星运动不均匀性的影响,使木星晨见东方的真实的时间(常见)较平见日(由木星平均会合周期计算而得的晨见东方的时间)或超前、或滞后,超前或滞后的时间改正值则因节气的不同而各异。如对于立春到春分这一时段中某一日的改正值,需依一次差内插法计算,即以该日与立春日的时距乘以4、再除以转法52,即得。别的时段的改正值计算均仿此。当然,术文中直书“加七日”或“减七日”的时段的改正值则无需作这样的计算。
若以改正日及分为纵坐标,以二十四节气为横坐标,按上述术文意,可以给出皇极历木星运动不均匀性改正的曲线图。
大业、戊寅、麟德和正元四历的木星入气加减法,与皇极历大同小异,依之,亦可绘出相应的改正曲线。这里需要指出的是:在计算各时段的改正值时,这四种历法采用的除数(与皇极历的转法相当者)分别为42640、676、670和1095。大业、戊寅二历改正曲线的差异仅仅在于:大业历取“大寒后十日”、而戊寅历取其后五日余的“立春”作为关节点。我们是以大业历为准给出改正曲线的。正元历的改正曲线则与麟德历全同。
火星皇极历术曰:
“平见,雨水前,以十九乘去大寒日;清明前,又十八乘去雨水日,增雨水所乘者;(此间应加“清明至夏至加二十七日”句);夏至后,以十六乘去处暑日;小满(应为处暑)后,又十五日(‘十五日’三字为衍文,需改增‘二十八乘去白露日,减处暑所乘者’十四字);寒露前,以十八乘去白露日;小雪前,又十七乘去寒露所乘者;大雪后,二十九乘去大寒日,为减,小雪至大雪减二+五日。”
上述文中已明确无疑地列出了从大寒到雨水、雨水到清明、夏至到处暑、白露到寒露、寒露到小雪、小雪到大雪、大雪到大寒七个时段的改正值,中缺清明到夏至、处暑到白露二个时段,需设法予以补正。
已知大寒经雨水到清明,改正值累增
清明到夏至的改正值应持平,均等于27日,故需在术文“夏至后”句前增加一句,即“清明至夏至加二十七日”。又,已知从夏至到处暑,改正值累减
从处暑到白露,改正值应累减26.9255-18.7308=8.1947日,于是该时段改正值的每日变率应等于8.1947×52/15.21875=28。依此,我们对上述术文作了“二十八乘去白露日,减处暑所乘者”十四字之补正。
据如上作了补正后的术文,我们可以给出皇极历火星运动不均匀性改正的曲线图。大业历、戊寅历、麟德历和正元历的火星改正曲线亦可据有关术文作出,戊寅历基本上与大业历一致,而正元历则与麟德历大体相同。
土星皇极历术曰:
“平见,在大暑前,以七乘去小满日;寒露后,九乘去小雪日,为加,大暑至寒露加八日。小寒前,以九乘去小雪日;雨水后,以四乘去小满日;立春后,又三乘去雨水日,增雨水所乘者,为减,小寒至立春减八日。”
依之,可得皇极历土星运动不均匀性改正曲线。同理,依大业、戊寅、麟德和正元四历的有关术文可得相应的改正曲线。此中,正元历与麟德历全同。戊寅历土星入气加减法的术文有小误,需略作修正:“入大暑,日增所加百八十一分。入处暑,均加九日,入白露初日,加六千二分”。这里“均加九日”与“加六千二分”显然是一个意思,而6002/676=8.88日,则9日仅是8.88日的约值。依6002分计,从大暑到处暑二节气(30.4375日)间改正值的变率应为6002/30.4375≈197,故术文中,“百八十一分”应为“百九十七分”之误。
金星皇极历术曰:
“夕平见,在立秋前,以六乘去芒种日,秋分后,以五乘去小雪日;小雪后,又四乘去大雪日,增小雪所乘者,为加,立秋至秋分加七日。立春前,以五乘去大雪日;雨水前,又四乘去立春日,增立春所乘者,清明后,以六乘去芒种日,为减,雨水至清明减七日。”“晨平见,在小寒前,以六(应为五)乘去
冬至日;立春前,又五(应为六)乘去小寒日,增小寒所乘者;芒种前(应为后),以六(应为五)乘去夏至日;立夏前(应为后),又五(应为六)乘去芒种日,增芒种所乘者,为加,立春至立夏加五日。小暑前,以六(应为五)乘去夏至日;立秋前,又五(应为六)乘去小暑日,增小暑所乘者;大雪后,以六(应为五)乘去冬至日,立冬后,又五(应为六)乘去大雪日,增大雪所乘者,为减,立秋至立冬减五日。”
在“晨平见”术文中,“立夏前”与“芒种前”的二个“前”字均应为“后”之误,这是显而易见的。又,既然“立春至立夏加五日”和“立秋至立冬减五日”,但是,自冬至经小寒到立春,自立夏经芒种到夏至,自夏至经小暑到立秋,以及自立冬经大雪到冬至改正值的增减是均为
两相矛盾。若将各段的日增减分互换,则有
于是两相吻合,故应据改。依之,可给出皇极历金星运动不均匀性改正曲线。
在大业历金星入气加减法术文中,“夕平见,在启蛰前,以六千二百九十乘去小雪日数”句,“小雪”应改从“冬至”,因为通观整个术文,改正曲线具有明显的对称性,与之相应的时段为清明至芒种,夏至至处暑,寒露至大雪,均相距四个节气,而启蛰至小雪却为六个节气,启蛰无误,与之相距四个节气者应是冬至,故据改。戊寅、麟德和正元三历法的金星入气加减法均与大业历相同。依之,亦可作改正曲线。
水星皇极历术曰:
“夕应见,在立秋后、小雪前者不见;其白露前、立夏后,时有见者”。“晨应见,在立春后,小满前者不见;其惊蛰前、立冬后,时有见者。”
显然,这仅仅是一种定性的描述,而且是不连续的,即对各节气状况的描述是间断性的,甚至在对夕应见和晨应见作分别描述时,也还存在彼此矛盾之处。据此,我们无法给出它的改正曲线。这说明刘焯对于水星运动不均匀性的认识是十分粗疏的。
大业历小有改进,其术曰:
“晨平见,在雨水后,立夏前者,应见不见。……从霜降至小雪加一日,冬至至小寒减四日,立春至雨水减三日。冬至前,一去三,二去二,三去一。”“夕平见,在处暑后、霜降前者,应见不见。……从谷雨至夏至,减二日。”
这是一种半定性、半定量的描述,而且仍是不连续的,我们还难以据之作出相应的改正曲线来。但是它在分别描述晨、夕见的改正值时,已经消除了自身的内在矛盾,更重要的是,它真切地反映了人们对水星运动不均匀性改正进行定量化描述的初始尝试。
到戊寅历,对于水星运动不均匀性改正的描述,依然是半定量、半定性的,只是描述的连续性有所提高,但就总体的水平看,并无实质性的进展。而麟德历和正元历则基本上沿袭了戊寅历的水星入气加减法。这些都为我们留下了定性向定量描述过渡的历史轨迹。
由上述各历法五星入气加减法的叙述中,我们可以对各历法当年所测定的五星近日点和远日点黄经的状况作一分析。对于外行星和内行星需分别予以讨论:
由于外行星的运动速度小于太阳视运动的速度,它们与太阳的相对位置理应表现为每日西退。当外行星的实际运动速度大于平均运动速度时,其西退速度较平均西退速度变小,平见时间则后延。相反,当外行星的实际运动速度小于平均速度时,其西退速度较平均西退速度变大,平见时间则应超前。当外行星在近日点附近时,其实际运动速度均大于平均速度,平见时间均应后延;同理,当外行星在远日点附近时,其实际运动速度均小于平均运行速度,平见时间均应趋前。
设外行星在过远、近日点时,平见时间不增不减,那么,在外行星过近日点前后,平见时间改正值应由负变正,平见时间均日趋后延;而当外行星过远日点前后,平见时间改正值应由正变负,平见时间均日趋超前。对五星入气加减法而言,当某节气的加减值为零,且其后的加值渐增,其前的减值渐减的关节点,是为外行星的近日点;而当某节气的加减值为零,且其后的减值渐增,其前的加值渐减的关节点,是外行星的远日点。
同理,我们可以推知,对于内行星入气加减法而言,当某节气的加减值为零,且其后的加值渐增,其前的减值渐减的关节点,是为内行星的远日点;而当某节气的加减值为零,且其后的减值渐增,其前的加值渐减的关节点,是为内行星的近日点。
由上述外行星的特征,不难指定皇极、大业、戊寅、麟德和正元各历木、火、土三星的近日点和远日点的位置。而其近日点和远日点的黄经值则可算知。
ω⊙为平见时太阳的黄经值,它是由关节点所当的节气时刻确定的。若关节点表现为某一时段,则取该时段的中点作为关节点。
ωp是指外行星平见时与太阳间的度距。
于是,ω历=ω⊙-ωp,即为外行星近日点(或远日点)的历测黄经值。由此可见,若以24节气所相当的黄经值作为横坐标,各历法外行星运动不均匀性改正曲线必须向左平移ωp度,才是各历法外行星运动不均匀性改正的真切曲线。
