普林斯顿大学的科学家们在量子材料方面取得了突破性的发现，揭示了某些系统中的电子能级遵循一种被称为“霍夫施塔特蝴蝶（Hofstadter’s butterfly）”的分形模式。

这种现象在1976年首次被理论化，但直到现在还没有在实际材料中直接观察到。这一发现是莫尔图案石墨烯超导性实验的意外结果，在该实验中，意外的错位为可视化难以捉摸的分形能谱创造了完美的条件。

量子材料中的分形模式

普林斯顿大学的一组科学家成功地测量了一种新型量子材料中电子的能级，并发现它们遵循分形模式，这是一种重复的结构，在不同的尺度上看起来都一样。分形在自然界中很常见，比如雪花、蕨类植物和海岸线。在量子世界中，一个类似的模式 —— 霍夫施塔特蝴蝶 —— 早在1976年就被理论化了。现在，研究人员第一次在真实的材料中直接观察到这种模式。

材料工程的突破

材料工程的进步使这一突破成为可能。研究人员将两层石墨烯（碳原子片以六角形排列）堆叠并扭曲，创造出一种重复的干涉图案，称为波纹图案，类似于一些法国织物的分层纹理。

“这些莫尔晶体提供了一个理想的环境，当将其中移动的电子置于磁场中时，可以观察霍夫施塔特光谱。这些材料已经被广泛研究，但到目前为止，这些电子能谱的自相似性仍然遥不可及，”普林斯顿大学詹姆斯·s·麦克唐纳杰出大学教授阿里·亚兹达尼说，他的团队已经应用他们强大的量子显微镜技术来研究这个问题。

霍夫施塔特的蝴蝶：量子分形

霍夫施塔特的蝴蝶代表了道格拉斯·霍夫施塔特1976年一篇开创性论文的主要发现。在这项工作中，他预测在强磁场的影响下，被限制在二维晶体内的电子能级将表现出分形能谱的特征。之所以使用“蝴蝶”这个名字，是因为在能量和磁场的映照下，新出现的图案显示出一种优雅而复杂的结构，类似于蝴蝶的翅膀。

重要的是，这种蝴蝶图案是分形的，这意味着它是一种自我重复的图案，在不同的尺度上一次又一次地产生。虽然自然界中有很多分形的例子，比如海岸线和雪花，但在量子领域却很少发现。

“霍夫施塔特的蝴蝶也是一个罕见的例子，在量子力学中完全解决了一个问题，没有任何近似，”凯文·努科尔斯（Kevin Nuckolls）说，他是这篇论文的共同主要作者，该论文详细介绍了该团队的发现，发表在最近一期的《自然》杂志上。

“自从霍夫施塔特的原创作品以来，已经有很多关于这个主题的实验和精彩的论文，但在我们的工作之前，没有人真正看到过这个美丽的能谱，”努科尔斯补充道。

一个意外的惊人发现

实际上，研究人员最初并没有打算将这种复杂的现象形象化。

“我们的发现基本上是一个意外，”努科尔斯承认。“我们并没有开始寻找这个。”

相反，研究人员正在进行一项实验，研究扭曲双层石墨烯的超导性，博士后研究员、论文的共同主要作者狄龙·王（Dillon Wong）说。2018年，麻省理工学院（MIT）的一个研究小组发现，限制在这些莫尔纳米晶体中的电子具有超导性 —— 一种电子自由流动而没有任何阻力的状态。从那时起，亚兹达尼的团队和世界各地的许多其他人一直在试图了解这些材料的超导性本质。

“我们的目标是研究超导性，”狄龙·王继续说道，“但是当我们制作这些样品时，我们没有达到理想的角度。”

这个错误产生了一个具有周期性的莫尔纹图案，比实验学家打算创造的要长，但结果证明正是观察霍夫施塔特光谱所需要的。

亚兹达尼说：“光谱具有特定的磁场依赖性，这只能在实验室中实现的条件下进行验证，当电子以具有长周期的完美周期势运动时，这在这些偶然制造的样品中实现了。”

扫描隧道显微镜：近距离观察

该团队使用扫描隧道显微镜以原子分辨率对莫尔晶体进行成像，并检查它们的电子能级。这种显微镜的工作原理是将一个距离表面不到一纳米的尖锐金属尖端，允许电子从尖端到样品的量子“隧穿”。当使用STM来研究他们的样品时，由此产生的电子行为表明了一种研究人员所认识到的模式，最初不是霍夫施塔特的蝴蝶，而是独一无二的。然而，很快，当他们更详细地分析这个模式时，他们意识到他们正在注视着霍夫施塔特近50年前假设的模式。

“有时候大自然对你很仁慈，”努科尔斯说。“有时候，如果你停下来观察，大自然会给你一些非凡的东西。”

STM对这个实验尤其重要，因为这个工具对材料中的电子能量特别敏感。该论文的共同第一作者、博士后研究员吴明哲（Myungchul Oh）表示：“STM是一种直接的能量探测器，它有助于我们将霍夫施塔特的原始计算与能量水平的计算联系起来。”“以前对霍夫施塔特蝴蝶的研究是基于电阻测量，而不是测量能量。”

电子相互作用的新见解

虽然这项研究可能不会产生任何实际应用，至少不会立即产生，但这项工作揭示了霍夫施塔特光谱的特征，这些特征对基础物理研究很感兴趣。研究人员发现，如果包括与电子相互作用有关的现象，光谱的理论模型就会得到改进，这是霍夫施塔特最初计算中遗漏的一个重要特征。包括这种相互作用的影响是困难的，实验在理解这个问题的多电子版本中变得特别有价值。实验团队与物理系Biao Lian教授及其学生领导的理论团队密切合作，他们也是该论文的合著者。

普林斯顿大学物理学研究生、该论文的共同主要作者之一迈克尔·希尔（Michael Scheer）说：“霍夫施塔特体系是一个丰富而充满活力的拓扑态光谱，我认为能够对这些态进行成像可能是理解其量子特性的一种非常有力的方法。”

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