大家好！本文和大家分享一道2012年广东高考数学真题。这道题是当年广东高考理科数学的第20题，也就是全卷倒数第2题，考查的是椭圆的标准方程、椭圆简单的几何性质、直线与圆的位置关系等知识。这道题还是有一定难度的，特别是第二问难住了不少的学霸。

先看第一小问：求椭圆的标准方程。

题干已经告诉了椭圆的离心率，而e=c/a，则有c/a=√(2/3)，两边平方后整理得到：a=3c/2。根据椭圆的性质，有b=a-c=c/2，从而得到a=3b。代入椭圆方程后，方程中就只剩下b一个参数需要确定了，题干中正好还有一个条件没有用，所以接下来就用这个条件来求出b的值。

由于椭圆上的点到点Q(0,2)的最大距离为3，所以我们先设椭圆上任一点P(x,y)，则x=3b-3y，然后利用两点间距离公式表示出|PQ|，即|PQ|=√[x+(y-2)]，整理得到|PQ|=√[-2(y+1)+3b+4]，其中-b≤y≤b，所以函数f(y)=-2(y+1)+3b+4在[-b,b]上的最大值为9。函数f(y)是一个二次函数，这样就变成了“定轴动区间”的一个二次函数最值问题，那么我们需要分为对称轴在区间内和对称轴在区间外进行讨论，从而求出b的值，最终得到椭圆的标准方程。

再看第二小问。这是一个存在性问题，我们可以先假设存在满足条件的点M，然后进行求解。

由点M(m,n)在椭圆上得：m/3+n=1，即m+3n=3。

要使△AOB的面积最大，那么需要先表示出△AOB的面积。根据题意，我们可以将AB作为底、点O到AB的距离作为高来计算三角形的面积。

根据点到直线的距离公式可以得到，圆心O到直线l的距离d=1/√(m+n)。又圆的半径为1，所以d＜1，即m+n＞1。|AB|=2√(r-d)=2√[1-1/(m+n)]，从而就可以得到出三角形面积的表达式。

上面计算线段AB的长度用的是几何法，几何法是求圆中弦长问题最简单的方法，当然用弦长公式也是可以求解的。

得到三角形面积的表达式后，再通过变形化简求出其最大值，并得到去最大值的条件，从而进一步求出点M的坐标。

另外，得到三角形面积表达式后的处理方法除了上图中用到的方法，还可以将1/(m+n)作为一个整体，这样就可以用二次函数来求最值了。如果不好看明白的话，我们简单换一下元就很清楚了，即令1/(m+n)=t，那么面积表达式就变为了√[t(1-t)]，根号下就是一个二次函数了。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？