滤纸与漏斗——2024年广东省中考数学第21题

2022版新课标中，对于综合与实践版块，有着明确的描述与要求，如下图：

而在2023年、2024年全国各省市的中考数学卷中，也开始大量出现此类考题，尽管命题素材不同，难度不同，要求也不同，但至少呈现一种趋势，就是在平时教学中重视数学综合与实践活动，认真实施教学，落实课标要求，可以预见的未来是，综合与实践考题会成为“固定科目”，以2024年广东省中考数学第21题为例，取材于滤纸与漏斗这一生化实验常见的器材，常见的操作，但需要用数学去思考。

题目

综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗；

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明；

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)

解析：

(1)方法一：

在操作的步骤中，我们需要明确几个量——圆锥形滤纸的底面半径、母线和高，视频如下：

可以直接得到圆锥形滤纸母线为5cm，然后底面周长为10πcm(请注意观察视频中的圆锥底面部分)，于是可求出圆锥底面直径为5cm，则它的母线与底面直径比值为1；

而圆锥漏斗母线为7cm，底面直径也是7cm，它们的比值为1；

由比值相同可判断圆锥形滤纸能够紧贴圆锥形漏斗；

方法二：

假设圆锥形漏斗能够展开，那其侧面一定是扇形，圆锥形滤纸的侧面也是一个扇形，只要这两个扇形圆心角相同，则可判断它们能够紧贴；

先从圆锥形滤纸制作过程中观察，围成侧成的部分其实是个半圆，即第一次折叠后的图形，故这个扇形的圆心角是180°；

再看圆锥形漏斗的侧面展开图(数学想像)，底面直径和母线均为7cm，先求出底面周长为7πcm，再利用扇形弧长公式求得其圆心角为180°，所以它们能够紧贴；

(2)这个小题比较简单了，圆锥形滤纸的底面直径为5cm，母线为5cm，其截面是一个等边三角形，于是可求出它的高为2.5√3cm，则体积为1/3π(2.5)²×2.5√3，计算结果是125√3/24cm³.

解题思考：

暑期培训学习中，无论是青岛还是福州，都听到不同专家对于综合与实践类考题的思考，收益良多，于是便搜索了一下2024年全国各地的中考数学卷，发现已经有很多这样的题目，基本上它们都处于中档难度及以上，学生解这类题目倒并不费劲，哪怕平时这类操作比较少见，也能从生活实践中获得相应的经验，例如这道滤纸与漏斗的问题，理解难点在于折圆锥形滤纸，步骤3中“将其中一层撑开”却成为部分学生理解错误的根源，说明他们平时根本就没有动手去实际操作制作一个圆锥形漏斗，相反，那些勤于动手动脑的学生，理解起来非常顺利。

新学期开学在即，新教材实施在即，新课标早就在2年前发布，而新中考则在不远的将来完全贴合新教材，其中综合与实践版块，是区别于旧中考的最大部分，其跨学科性，实操性都需要平时教学中去落实，这也是我们后期需要认真思考的问题。

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