古代数学(九)。

继续分享领先世界的中国古代数学。1248年河北石家庄人李冶完成世界上第一本天元术专著《测圆海镜》。在经过一千多年传承且不断发展的方程术、勾股容圆术的基础上，李治进行了四个方面的重大提升。

·第一、通过《圆城图式》、《识别杂记》单独列出了相关问题的所有概念，明确规定了相关的数学术语，解析了十五种勾股容圆的位置关系，并列出692条公式，清晰描述它们之间的数理关系。其中684条完整正确，其完整度、严谨度令人敬畏。

·第二、以往各朝代大量数学典籍中用不同的文字表示未知数、常数以及不同次幂的方法。比如这些文字符号对记忆、传播和快速运算而言门槛比较高，李冶进行了简化并统一规范。用"元"代表未知数，用"泰"代表常数，以所在位次代表幂次，以上下方位代表正、负次幂使方程数迈入新的符号代数阶段，离今天的字母表达式更近了一步，是不可逾越的关键过度。

·第三，为了区分不同方向上的点，基于中国特有的历代典籍意义贯制的天地人合一的传统理念，八卦体系确定了方位的天地、乾坤、逊更、日月、山川、东西南北心等中国学者都能理解的常识性概念，分别表示纵向、横向、斜向的顶点、焦点以及圆心，实现了字与图浑然一体的效果，完全不需要多余的思考和辨别。

·第四，通过一百七十道例题进行详解，每道例题都分为问答法、草四个部分。其中法在之前的大部分中国数学著作中写作术，阐述解题方法也就是算法。而草的部分阐述原理的推导和证明过程里也用天元数列出了一百八十二种解法，其中六次方程一个，四次方程二十个，三次方程二十四个，二次方程一百零六个，一次方程三十一个，体现了高次方程数值解法的水平。

另外在北宋时期蒋周所著的《益古集》的基础上，1259年李冶重新编撰了一部用天元术代数法解几何问题的实用专著《益古演段》，既保留了蒋周的几何法、方程法，又提出了自己的新方法，拓展了刘徽的出入相补原理，化多元为一元，通过一般程式解决各种多元问题，使天元术更加浅显易懂贴近现实。

李治打破了代数被几何束缚的局面，提出常数项可正可负，二次方不止用于计算面积，三次方也不只用于计算体积，首次完整提出了化分式方程为整式方程的方案，开创了以次数最低的项为实，通过降次解高次方程的方法，首次用斜线代替文字表示负号，首次使用"0"作为小数的个位数符号。

因此李冶的天元术和一系列开创性成就是数学的算法和理论体系均提升到全新高度的重大里程碑，位列宋元四大数学家之一，名符其实。