有没有数学方法可以证明 π 是一个没有尽头的无理数？

无理数不胜枚举。我们怎么知道 pi 没有结局呢？ （图片来源：kr7ysztof/Getty Images）

pi（写成希腊字母 π）最初定义为圆的周长与其直径之间的比率，它出现在整个数学领域，包括化学、物理科学和医学等与圆完全无关的领域。

Pi 属于一个巨大的数学组，称为无理数，它永远存在，不能写成分数。科学家们已经计算出 pi 到 105 万亿位，尽管我们大多数人更熟悉近似值 3.14。但是我们怎么知道 pi 是一个无理数呢？

有理数构成了我们在日常生活中使用的大多数数字（尽管不到所有可能数字的一半），可以写成一个整数除以另一个整数的形式。Pi 及其复杂的小数字符串，乍一看肯定不属于这一组。

然而，实际上证明你不能把 pi 写成一个分数，这是一个令人惊讶的棘手问题。康涅狄格大学（University of Connecticut）的数学家基思·康拉德（Keith Conrad）解释说，数学家没有一种通用的方法来证明某个特定的数字是无理数的，因此他们必须为每种情况开发不同的证明。“你怎么知道一个数字不是分数？”“您正在尝试验证负面属性。”

尽管存在这种困难，但在过去的 300 年里，数学家们使用整个数学领域的技术建立了 pi 非理性的不同证明。这些论点中的每一个都以 pi 是有理的假设开始，以方程的形式写成。通过对这个方程中未知值的性质的一系列作和推论，随后很明显，数学与这个原始断言相矛盾，从而得出 pi 一定是无理数的结论。

所涉及的具体数学通常非常复杂，通常需要对微积分、三角学和无穷级数有大学水平的理解。然而，每种方法都依赖于这种通过矛盾证明的中心思想。

"有使用微积分和三角函数的证明，“康拉德说。“在其中一些研究中，π 被挑选出来作为 sin（x） = 0 的第一个正解。兰伯特在 1760 年代的第一个证明使用了一种称为无限连续分数的数学——它是一种无限嵌套的分数。

然而，与其直接证明 pi 是无理数，不如使用数字的不同性质来确认无理性。Pi 属于另一个称为超越数的数字组，它不是代数的，重要的是，不能写为多项式方程的根。因为每个超越数都是无理数，所以任何证明 pi 是超越的证明也证明 pi 是无理数的。

尽管 pi 的普遍重要性可能源于这种无形的不合理性，但对于任何实际应用来说，小数点后 7 位或 8 位通常都绰绰有余。甚至 NASA 也只使用 16 位 pi 进行计算。

“我们出于实际目的估计该值，3.1415926 — 这已经是很多信息了！”祖迪林说。“但当然，在数学方面，这并不令人满意。我们关心数字的性质。