引言

前段时间，某数学比赛吸引了不少流量，对于姜萍到底是不是真的是一个天才不去探究，这里仅仅聊聊数学历史上的一个有趣的东西：完美数字。

在数学的浩瀚海洋中,有一类特殊的数字如同稀世珍宝,吸引着数学家们孜孜不倦的探索。它们就是完美数字——一个诞生于古希腊,却至今仍然充满神秘的数学概念。这个看似简单的概念,不仅有着悠久的历史,还牵涉到数学中最古老的未解之谜之一。

一、什么是完美数字？

1. 定义

完美数字的定义其实很简单:如果一个数的所有真因子(即除了这个数本身的所有因子)之和等于这个数本身,那么这个数就是完美数字。

2. 举例说明

以6为例:

6的真因子有1、2、3

1 + 2 + 3 = 6

因此,6是一个完美数字。

3. 完美数字的特性

- 目前发现的所有完美数字都是偶数

- 它们的数字末位在6和8之间交替

- 除了6之外,每个完美数字都是连续奇数立方的和

- 用二进制表示时,完美数字呈现出特殊的模式

二、完美数字的历史探索

1. 古希腊时期

- 毕达哥拉斯学派最早研究完美数字,认为它们具有神秘意义

- 欧几里得(约公元前300年)发现了生成偶完美数的公式

2. 中世纪至文艺复兴

- 尼克马库斯(公元60年左右)在《算术导论》中提出了五个关于完美数字的猜想

- 埃及数学家伊本·法鲁斯(13世纪)列出了10个完美数字,推翻了尼克马库斯的部分猜想

3. 17-18世纪

- 马林·梅森(1588-1648)深入研究了与完美数字相关的特殊素数,现在称为梅森素数。

梅森素数是形如2^n - 1的素数,其中n也是素数。欧几里得发现,如果2^n - 1是素数(即梅森素数),那么2^(n-1) * (2^n - 1)就是一个完美数。这个发现为寻找新的完美数字提供了一个有效方法。

- 勒内·笛卡尔(1596-1650)试图证明欧几里得公式是生成偶完美数的唯一方法

- 莱昂哈德·欧拉(1707-1783)证明了每个偶完美数都符合欧几里德的形式,并发明了Sigma函数

是不是这上面每个名字都是闪闪发光的，是每个热爱数学/科学的人都无法忽视的，大概也是支配每个人读书时代作业题的梦魇吧。

三、现代计算机时代的突破

1. 计算机辅助搜索

- 1952年,拉斐尔·罗宾逊编写了第一个用于寻找梅森素数的计算机程序

- 1996年,互联网梅森素数大搜索(GIMPS)项目启动,开启了分布式计算的新时代

2. 重大发现

- 1952年之前,人类只发现了12个梅森素数

- 1952年至今,借助计算机又发现了39个梅森素数

- 2018年发现的最大梅森素数有24,862,048位数字

3. 奖励与激励

- 发现新的梅森素数可以获得奖金,最高可达25万美元，任何人都可以在GIMPS网站下载用于分布式计算的程序在自己电脑上运行，提供闲置的算力用于去寻找梅森素数，一旦找到就可以获得奖励。

- 2017年发现的第50个梅森素数被日本出版社出版成书,迅速售罄，而有意思的是这个数字完整印在树上了，这仅仅一个数字就占据了719页，这本书在亚马逊上迅速升至第一名。

目前，我们已经发现了51个梅森素数,相应地也发现了51个偶完美数。最新发现的完美数字有超过2亿位数字,如果打印出来将超过70公里长!

四、完美数字的未解之谜

1. 奇完美数存在性问题

- 这被认为是数学中最古老的未解之谜之一

- 目前还没有发现任何奇完美数

- 如果奇完美数存在,它至少有10^2200位数字

2. 数学家们的努力

- 1991年:研究人员证明如果奇完美数存在,它一定大于10^300

- 2012年:下限被提高到10^1500

- 最近的研究将下限进一步提高到10^2200

当然这个数字已经极其巨大了，其实当前大多数数学家倾向于认为奇完美数可能不存在。

五、完美数字研究的意义

1. 纯数学价值

- 推动数论和其他数学分支的发展

- 启发新的数学思想和方法

2. 计算机科学应用

- 推动大数运算和分布式计算技术的发展

- 在密码学中有潜在应用

3. 哲学和认识论价值

- 体现人类对知识的纯粹追求

- 展示数学的美和神秘

最后，完美数字的研究历程如同一部精彩的数学探险史诗。完美数字不仅是数学研究的对象,更是人类智慧和探索精神的象征。它提醒我们,在科学的道路上,永远充满未知与惊喜。无论你是专业数学家还是数学爱好者,都可以加入到这场激动人心的数学探索中来。也许,下一个改变数学历史的重大发现就在你的指尖!当然还有25万美元可能就属于你。