经常见到网友宣传 清北中科大，数学考试题目难，暗示其教学水平高，以上这些学校的考试题目难不难这里不讨论，mit 麻省理工学院的好多课程，视频和考试题目都上线了，可以看出，教学内容 和考试题目都不难。mit 的微积分课程中，在介绍一些新的数学概念，以及其运算规则前，比如隐函数，都要先举一个具体的问题例子，这些具体例子问题，用隐函数来计算，则简便的多。在课堂答疑环节，有些学生提的问题，确实比较基础，下边有人评论说，这问题也太简单了。但是mit 师生的创造性是不用怀疑的，比如著名的 rsa 公钥加密体系，就是又mit 的老师提出来的，是电子商务和网络交易安全的基础。

mit 的建筑

mit 的建筑

mit 的煎煮

数学强调探究问题的本质，比如把对一些极大值极小值函数的计算，归结为一阶导数和二阶导数的计算。各阶导数的数值，反映了函数变化情况的本质。

那数学课程和教学，本质是要达到什么目的，需要不需要难题，难题的意义在哪里呢？

数学教学，应该阐发深刻的数学思想，而不应该抠难题。应该先强调深刻。

表音文字比表意文字简洁

有人说，没难度哪有深刻，这两个如何区分?

典型的，比如有些几何题目，用平面几何方法画辅助线来证明，就很难，而用解析几何方法和向量方法，就很不难了。所以，最简单的解析几何和向量方法，也体现了深刻的数学思维。这些数学思想，学了觉得简单，直到近代才发展出来，不是人人都可以靠直觉得出来的。

比如一些小学题目，用割补法的技巧来计算复杂图像的面积。为什么把这些割补法叫成技巧 而不是深刻的数学思想呢？ 因为割补法应用范围有限，大多数现实的面积计算问题，不能用割补法来解决。而微积分则适用于非常多的场景。

汉白玉围栏

汉白玉桥

比如明朝修建宫殿，把一块很大的汉白玉整体搬运到了宫殿，采用了冬天 地面浇水冻冰，然后滑行的方法搬运，这个方法看似巧妙，充满了技巧，但是 适用范围小，没有发展成系统性的工具，而发明火车和铁轨，以及起重机，可以适用于更多的搬运问题。这就是技巧和系统性方法的差别。

学习和研究数学的主要目的，应该是掌握和熟悉应用这些这些系统性的方法，以及进一步创造更多的系统性方法，尤其是 创造新的数学方法，需要比较长的时间，所以现实中，难题是做为选拨数学人才的方法而出现和存在的。但是，难题虽然难，毕竟都需要有答案，所以会做难题，并不是数学上取得了突破。 历史上，数学上的突破，都是对现实问题的研究而取得的，很少有因为对竞赛考试难题提出不同的计算方法而实现了数学上的突破。难题都是人设计的，破解难题，需要窥探出题人的意图和思维，而解决现实问题，需要抓住问题的本质，因为现实客观问题，没有人站在后边设计。

说到现代数学思想的渗透，有些数学教育体系中，在小学介绍加法时，就给学生说，加法符合交换律和结合律。 但是没有给学生介绍 不符合交换律的运算系统，学生知道大学，学习矩阵相乘，才能真实体会到，乘法也有不符合交换律的。没有真实例子，容易让学生以为，这些内容，就是名词的背诵。

网上流行的段子，老师问我 3+2 等于几，我说5，老师又问2+3等于几，我说这不是废话吗？ 真实地体现了，这种教学方法的 荒唐。 如果举两个二阶矩阵相乘的例子，学生就不会说 这是废话了。 这就是，脱离具体例子，直接介绍抽象观念。学生还没有见过钉子，先让学生背诵 锤子 可以订钉子。

一些数学教育体系，在小学就介绍二进制运算，这个就容易让学生 体会到，符号和运算体系本质上是反映和计算客观世界的需要而产生的。现实中，存在多种符号和运算系统，都能反映客观世界。

反正，难题的意义是有限的。从简单常见的例子出发，阐发深刻的数学思想，才是最重要的。