大家好！本文和大家分享一道2006年山东高考数学真题。这道题综合考查了椭圆的简单几何性质、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系、定比分点等知识。这道题的难度还是比较大的，特别是第二问让很多同学感到头疼。

先看第一小问：求双曲线的标准方程。

由于双曲线与椭圆具有相同的焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，故可以设双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1。

由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点坐标为(±2,0)，所以双曲线的c=2。又因为直线y=√3x是双曲线的一条渐近线，所以b/a=√3。而在双曲线中，有a^2+b^2=c^2，联立就可以解出a、b的值。

再看第二小问：求Q点的坐标。

由于直线l与双曲线有两个交点且与x轴也有交点，这就说明直线l的斜率存在且不等于零，所以可以设直线l的方程为：y=kx+4，从而可以得到Q点坐标为(-4/k,0)。然后再设A(x1,y1)，A(x2,y2)，接下来的处理本文大家分享两种方法。

由于向量PQ等于λ1倍向量QA，代入各自的坐标，整理后得到：-4/k=λ1(x1+4/k)且-4=λ1y1，解得x1=-4/(kλ1)-4/k，y1=-4/λ。由于点A在双曲线上，所以将其横纵坐标代入双曲线方程，整理后就可以得到一个关于λ1的一元二次方程。

按照同样的方法可以得到一个关于λ2的一元二次方程。对此这两个方程可以发现当16-k^2=0时，直线l为y=±4x+4，此时l过双曲线的顶点，不合题意，所以λ1、λ2是方程(16-k^2)x^2+32x+16-16k^2/3=0的两个根。于是根据韦达定理就可以得到λ1+λ2=32/(k^2-16)=-8/3，解得k=±2，从而得到Q点的坐标。

用坐标表示出题干中告诉的三个向量间的关系，然后表示出λ1和λ2，即λ1=-4/y1，λ2=-4/y2。又λ1+λ2=-8/3，所以1/y1+1/y2=2/3，即3(y1+y2)=2y1y2。

接下来就需要表示出y1+y2和y1y2的值，所以需要将直线l的方程和双曲线方程联立，消去x，从而得到一个关于y的一元二次方程，再用韦达定理即可求出y1+y2和y1y2的表达式。从而解出k的值。并最终得到Q点的坐标。

另外，解法二中也可以用三个向量的横坐标的关系求解，只是计算量要大一些。

本题第一小问的难度不大，主要考查了椭圆和双曲线的标准方程，第二小问则属于综合题，难度还是不小。你学会了吗？