在青岛一模之前，济宁一模已占据山东模考很多流量！因为济宁一模的几道压轴题个个是实打实的漂亮。

第8题为三角函数的零点差问题，这个差很有趣，是本卷的热点之一。

看原题济宁一模T8：若函数f(x)=2sinx+cosx-√3，x∈(0，π)的两个零点分别为x₁和x₂，则cos(x₁-x₂)=( )。A、-2/5，B、-1/5，C、1/5，D、2/5。

1、硬解法：分析，一般情况下，我们需要寻找函数 f(x) =2sin x+cos x-√3在区间(0, π) 内的两个零点x₁和x₂，然后求cos(x₁ - x₂)的值。

为方便求解，函数在结构上最好是单一函数，要么正弦函数，要么余弦函数。

我们知道，任何形式的Asinx+Bcosx都可以表示为Rsin(x+α)或Rcos(x-α)的形式，其中R=√（A²+B²），α是一个适当的相位角，它的大小由tanα=B/A来决定。

对于本题，即有

2sinx+cosx=√5sin(x+α)，或

2sinx+cosx=√5cos(x-α)，为方便研究，我们取正弦函数，即有

f(x) =√5sin(x+α)-√3，又因为x₁和x₂是f(x)的两个零点，故有

sin(x₁+α)=√3/√5和

sin(x₂+α)=√3/√5。

不妨设 x₁<x₂，易知x+α∈(α，α+π)，且tanα=1/2（为什么？）。

∵2sin x+cos x

=√5sin(x+α)

=√5(sinxcosα+cosxsinα)

=√5sinxcosα+√5cosxsinα，

∴2=√5cosα，1=√5sinα，即有

cosα=2/√5，sinα=1/√5，则

tanα=1/2，（对于选填题直接套公式即可）从而

cos(x₁+α)=√(1-sin²(x₁+α))=√10/5，

cos(x₂+α)=-√(1-sin²(x₂+α))=-√10/5，

（注意这个负号的意思！）

所以，cos(x₁-x₂)=cos[(x₁+α)-(x₂+α)]

=cos(x₁+α)cos(x₂+α)+sin(x₁+α)sin(x₂+α)

=√10/5×(-√10/5)+√3/√5×√3/√5

=1/5，故选C。

（烦吗？太烦了？似乎是耐心的较量！）

2、向量法：

（为什么会想到用向量来解呢？因为函数式中出现了cosx和sinx，很容易联想到单位圆上的点坐标，再看到2sinx+cosx这个和的形式，也能与向量点积的坐标定义相呼应！）

利用向量点积的两种计算方法：①几何定义： 点积等于两个向量的模的乘积，再乘以它们之间夹角的余弦。②坐标定义： 对于二维向量，点积等于两个向量对应坐标分量的乘积之和。

分析：设a、b为两个非零向量，

a=（cosx，sinx），b=（1，2）。

因f(x)=0，即2sinx+cosx=√3，故有a·b=√3（向量点积的坐标定义）。从而

cosθ=（a·b）/（|a|×|b|）

=√3/（1×√5）=√3/√5（向量点积的几何定义）

不妨设x₁>x₂，x₁-x₂=2θ。（为什么？）

故cos( x₁-x₂)=cos2θ=2cos²θ-1=1/5。

3、间隔法

已知2sinx+cosx=√3，两根记为x₁、x₂，目标cos(x₁-x₂)？关键不在于求x₁、x₂各自是多少，而是看间隔，即（x₁-x₂），间隔是不受平移影响的！

从哪看间隔？

看图像本质(抛过辅助角θ，直接看本质函数)：y=√5sinx=√3，即sinx=√3/√5。

只看第一周期即可，x₁、x₂有两种情况：

x₂=π-x₁

第一种情况：x₂=π-x₁；

x₂=3π-x₁

第二种情况：x₂=3π-x₁。

从而，

cos(x₁-x₂)=cos(2x₁-π)

=cos(2x₁-3π)=-cos2x₁

=2sin²x₁-1

=6/5-1=1/5。

可以看到，只要能理解图像本质，确定计算量也仅需口算而已！

关于间隔法，早在上海卷中出现过，即上海2013年的文理科高考题第21题：

上海卷

接下来不用大题的求解步骤，仅当作填空题处理第二问。

函数本质图像f(x)=2sin（2x），左右平移不改变零点间隔，只看上下，问题等价于研究：sin（2x）=-1/2。

如图：

零点间隔m=π/3，n=2π/3。

若含有30个零点的最小区间，应该是29个间隔，由14n+15m=43π/3可得最小值。