大家好！本文和大家分享一道1983年高考数学真题。这是当年高考理科数学试卷的第七道大题(共九道大题)，分值16分，考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质以及直线与椭圆的位置关系等。不少学生看了题目都感觉头疼，找不到解题思路，本文和大家分享3种常见的解法。

先求出椭圆的标准方程，在用弦长公式求出|MN|的值。

以椭圆的中心即A1A2的中点为原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。由|A1A2|=6可得，a=3；由|F1F2|=4√2可得：c=2√2，所以b=1，即椭圆的标准方程为x^2/9+y^2=1，短轴长为2。

接下来用弦长公式求|MN|的值。需要注意的是要讨论直线MN的斜率是否存在。

当α=π/2即直线斜率不存在时，|MN|就是椭圆的通径，所以|MN|=2/3≠2。

当α≠π/2即直线斜率存在时，可设直线MN的方程为：y=k(x+2√2)，其中k=tanα。然后联立椭圆方程和直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，然后用弦长公式和韦达定理求解即可。

按照解法一建立平面直角坐标系并求出椭圆的方程和短轴长，然后设直线MN的参数方程为x=-2√2+tcosα，y=tsinα，其中t为参数。将直线MN的参数方程代入椭圆方程，整理就可以得到一个关于t的一元二次方程。

如果t1、t2为方程的两个根，那么根据直线参数方程中参数的几何意义可知：|F1M|=t1，|F2M|=-t2，所以|MN|=|t1-t2|，然后用韦达定理求解。具体过程见下图。

另外，用α的三角函数表示出|MN|后，除了上面的方法，还可以用齐次式求解。即在分子上乘以(sinx)^2+(cosx)^2，这样分子分母都成了二次，然后分子分母同时除以(cosx)^2，就可以得到|MN|=[6+6(tanα)^2]/[1+9(tanα)^2]=2，解出tanα，再求出α的值即可。

设|F1M|=a，则|F2M|=6-a。在△MF1F2中，由余弦定理得：(6-a)^2=a^2+(4√2)^2-8√2cosα，从而得到|F1M|=1/(3-2√2cosα)。同理，在△NF1F2中，可以得到|F1N|=1/(3+2√2cosα)，所以|MN|=|F1M|+|F1N|=6/[9-8(cosα)^2]=2。先解出cosα的值，再求出α的值。

这道题实际上难度并不算太大，但是计算量却不小。你学会了吗？