最近，中国科学技术大学潘建伟团队研制出名为“九章”的量子计算原型机，在处理玻色采样问题上取得了重大突破，其计算速度远超超级计算机。为了理解玻色采样问题以及“九章”的强大算力，本文将从经典的高尔顿钉板实验出发，探讨概率计算、组合数估计以及量子计算的潜在应用。
高尔顿钉板与概率分布高尔顿钉板是一个用于演示概率分布的经典装置。它由一个漏斗、若干排横向排列的钉子以及底部收集小球的槽组成。
当小球从漏斗落下，在钉子上反复碰撞后，最终会落入底部的某个槽中。
考虑一个简单的四排钉子的高尔顿钉板。一个小球从顶部落下，假设每次撞击钉子后向左或向右的概率相等。那么，小球落入每个槽的概率如何计算呢？
小球落入最左侧或最右侧槽的路径是唯一的，即一路向左或一路向右。而落入中间槽的路径则有多种可能性。
例如，落入第二个槽，小球可以先左后右，也可以先右后左，因此有两种路径。以此类推，落入每个槽的路径数恰好构成杨辉三角。
四排钉子的情况下，路径总数为 2 的 4 次方，即 16。落入各个槽的概率分别为 1/16、4/16、6/16、4/16 和 1/16，这恰好符合二项分布。
N 排钉子的高尔顿钉板与组合数
推广到 N 排钉子的情况，共有 N+1 个槽。小球落入第 K 个槽的概率 P 可以用组合数公式表示：
P = C(N, K-1) / 2^N
其中，C(N, K-1) 表示从 N 个钉子中选择 K-1 个向左运动的组合数，2^N 表示所有可能的路径总数。
这个公式的计算涉及到阶乘运算，当 N 较大时，计算量会急剧增加，即使是计算机也难以处理。例如，当 N=100 时，需要计算 100 的阶乘，这是一个非常大的数字。
采样方法与组合数估计为了解决这个问题，可以采用物理实验的方法进行采样。让大量小球（假设 M 个）落入高尔顿钉板，统计落入每个槽的小球数量。
假设落入第 K 个槽的小球数量为 m，则落入该槽的概率可以近似为 m/M。当 M 足够大时，m/M 将非常接近理论概率 P。
通过这种采样方法，可以间接地估计组合数 C(N, K-1) 的值。已知 m、M 和 N，可以根据公式 P = C(N, K-1) / 2^N 反推出 C(N, K-1) 的值。
这种通过物理实验进行采样的方法，与著名的蒲丰投针实验类似，都是利用物理方法解决数学问题。采样次数越多，结果就越精确。
玻色采样问题与高尔顿钉板实验在本质上是相似的，都是通过采样来估计难以直接计算的概率分布。量子计算机在处理玻色采样问题上的优势在于其可以高效地模拟量子系统的演化，从而快速完成采样过程，这正是“九章”量子计算机取得突破的关键所在。
