如果关羽在东汉末年的时候成功北伐攻破了樊城，那么对三国时期的局势将产生重大的影响，并且可能导致不同的发展走向。以下是可能发生的情景：

1.    刘备的势力扩张：关羽是刘备的亲密战友和重要将领，他的胜利将有助于刘备进一步扩大势力。攻破樊城后，关羽可以继续北上，进一步攻击曹操的势力，可能占领关中地区，夺取长安等重要城市。这将使刘备的势力大大增强，成为北方的主要势力之一。

2.    曹操的处境：曹操是当时东汉末年最强大的诸侯之一，如果关羽攻破樊城，曹操将受到严重的打击。他失去樊城将面临严重的战略压力，可能被迫撤退或采取防守策略。曹操的势力可能会受到削弱，而且与刘备的对抗可能会更加激烈。

3.    孙权的选择：孙权作为江东的诸侯，他可能会观望局势的变化，并根据情况做出决策。如果关羽攻破樊城后继续北上，孙权可能选择与刘备合作，共同对抗曹操。这将导致刘备和孙权形成强大的联盟，对曹操形成更大的威胁。

4.    各方势力的重新平衡：关羽攻破樊城后，三国时期各方势力的平衡将发生改变。刘备势力的扩张将使他成为北方的主要势力，曹操可能会受到压力，而孙权的立场和选择将对局势产生重大影响。这可能引发新的冲突和战争，重新定义三国时期的势力范围和格局。

需要指出的是，虽然关羽的胜利可能给刘备带来更大的机会，但他仍然面临诸多挑战和困难。他必须面对曹操的反击和孙权的考验，并管理好自己的势力和内部矛盾。同时，其他重要将领如张飞和赵云的作用也是不可忽视的，他们的行动和选择将对局势的发展产生重要影响。

在这种情况下，关羽攻破樊城后的发展趋势可能是三国之间的更激烈的竞争和战争。刘备势力的扩张可能引发曹操和孙权的联合对抗，形成更加紧张的三国鼎立格局。曹操可能会加强自己的军事力量，采取更激进的策略来抵御刘备的威胁。孙权则可能会加强自己与刘备的联盟，以保持与曹操的平衡。

同时，其他的诸侯也可能受到影响。如袁绍、刘表等北方和中原地区的势力可能会重新评估局势，并做出相应的调整。一些原本中立的诸侯也可能会选择加入其中，以在这一新的局势中寻求自身的利益。

此外，关羽攻破樊城后，他可能会面临更大的挑战和压力。他将成为曹操的首要目标，并且曹操可能会派出更强大的军队来对抗他。关羽必须巩固自己的地位，应对敌人的进攻，并同时处理好内部的政治和军事事务。