对于向量场X和Y，李括号[X,Y]在局部坐标下的定义：

它有以下几方面含义：

从向量场运算角度

从局部坐标表示角度

坐标依赖与不变性统一：虽然该定义基于局部坐标，但李括号[X,Y]本身是一个不依赖于具体坐标选择的几何对象 。不同的局部坐标表示最终都描述同一个李括号运算，只是坐标分量和偏导数的具体形式会变化，这体现了几何对象在不同坐标描述下的内在一致性 。从几何与物理应用角度

物理中的应用：在物理领域，特别是力学和场论中，李括号有广泛应用。例如在经典力学中，泊松括号与李括号密切相关，用于描述力学系统中物理量之间的相互作用和演化关系；在规范场论中，李括号用于描述规范变换生成元之间的关系，进而研究规范场的动力学和对称性 。