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宏观经济学的数据衡量经济活动的价值：国内生产总值衡量生活费用：消费物价指数衡量失业：失业率正文
1. 宏观经济学的数据1.1 衡量经济活动的价值：国内生产总值国内生产总值（Gross Domestic Product, GDP）通常被作为对经济运行状态的最好衡量。它可以被视为经济中所有人的总收入，也可以被视为经济中物品与劳务产出的总支出。
1.1.1 计算GDP的一些规则a. GDP是一个流量变量。
b. GDP衡量现期生产的物品与劳务的价值。因此，二手货的出售并不包括在GDP中。
c. 增加存货会增加GDP，出售存货不影响GDP。
d. GDP只包含最终物品的价值。
1.1.2 实际GDP与名义GDP考虑一个只生产苹果和橘子的经济，此时经济中的GDP为生产的所有苹果的价值与生产的所有橘子的价值之和。即
苹果的价格苹果的数量橘子的价格橘子的数量
可以看到，GDP的增加可能是由于价格上升，也可能是由于数量增加。
显然，用这种方法计算出来的GDP并不是一个衡量经济福利的好的指标。当数量保持不变，价格翻倍时，GDP也翻倍，但并不代表经济体中生产的物品与劳务增加了。
我们把按现期价格衡量的物品与劳务的价值称为名义GDP。把按不变价格衡量的物品与劳务的价值称为实际GDP。实际GDP剔除了价格变化对经济中物品与劳务产出价值的影响。
为了说明如何计算实际GDP，设想我们想比较生产苹果和橘子的经济中1998年，1999年和2000年的产出。
首先，我们需要选择一组价格作为基年价格，例如我们选择1998年的价格。那么，1998年的实际GDP为
1999年的实际GDP为
2000年的实际GDP为
由于价格保持不变，因此不同年份实际GDP的变动仅仅是产量的变动。
1.1.3 GDP平减指数GDP平减指数又称为GDP的隐含价格平减指数，它被定义为名义GDP和实际GDP的比率，反映了经济中物价总水平发生的变动。
平减指数名义实际
因此，名义GDP可分为两部分：一部分衡量产量（实际GDP），一部分衡量价格（GDP平减指数）。
名义实际平减指数
1.1.4 支出的组成部分GDP可以分为四个广义的支出项目：
①消费（）：家庭购买的物品和劳务。
②投资（）：为未来使用而购买的物品。包括企业固定投资、居民固定投资以及存货投资。企业固定投资是指企业购买的新工厂和设备；居民投资是指家庭购买的新住房；存货投资是指企业物品存货的增加（蕴含假设：企业自己购买自己的存货，则支出=存货的价值；收入=存货的价值），如果存货减少，则存货投资为负。注意，在宏观经济学中，投资并不包括仅仅在不同个人之间重新配置资产的购买，如买卖股票。
③政府购买（）：政府购买的物品和劳务。它不包括向个人的转移支付，因为转移支付是再分配已有的收入。
④净出口（）：国外消费者对国内生产的物品和劳务的净支出。
注意，使用支出法计算GDP的核心是最终购买者对国内生产的产品和服务的全部支出。由于消费部分包含了对国外生产的产品和服务的支出，因此我们需要减去进口。而出口是指国外消费者对国内生产的产品和服务的支出，因此我们需要加上出口。从而得到支出项目净出口。
用表示GDP，则可得到国民收入恒等式：
1.2 衡量生活费用：消费物价指数1.2.1 一篮子物品的价格消费物价指数（Consumer Price Index, CPI）是度量一组代表性消费品及服务项目价格水平变动程度的相对数，衡量了经济体的物价水平。统计部门通常抽选一组居民经常消费的、对居民生活影响较大的、有代表性的、固定数量的商品和服务，这一组固定数量的商品和服务统称为商品篮子。
例如，一篮子物品为5个苹果和2个橘子，并假设我们以2000年为基年。则CPI为
上式告诉我们，相较于2000年购买5个苹果和2个橘子所花的钱，现在买这同样一篮子物品要花多少钱。
1.2.2 CPI与GDP平减指数GDP平减指数和CPI主要有三点差别：
①GDP平减指数衡量所有物品与劳务的价格，而CPI只衡量消费者购买的物品与劳务的价格。因此，企业与政府购买的物品价格上升将反映在GDP平减指数上，但并不反映在CPI上。
②GDP平减指数只反映在国内生产的产品，进口品并不反映在GDP平减指数上。但是CPI包含了进口品价格上升带来的影响。
③CPI使用固定的一篮子物品进行计算，GDP平减指数允许一篮子物品随GDP组成部分的变动而变动。
当不同物品的价格变动量不一样时，CPI倾向于高估生活费用的上升，因为这一指数没有考虑到消费者有机会用不太昂贵的物品去替代较为昂贵的物品。
GDP平减指数则倾向于低估生活费用的上升，它考虑了不同物品的替代，但是没有反映出这种替代可能引起的消费者福利的减少。
我们以一个具体的例子来说明。
如，一篮子物品为5个苹果和2个橘子，并假设基期时的苹果价格为1元，橘子价格为2元。假设现期时苹果价格变为8元，橘子价格为4元，则
但现实经济中消费者很有可能选择多消费橘子，少消费苹果，也即消费者实际的消费束为（2个苹果，5个橘子）。那么相应地，实际的生活费用变化为
生活费用
显然，CPI高估了生活费用的上升。
假设消费者在现期消费（2个苹果，5个橘子），则
平减指数
显然，GDP平减指数低估了生活费用的上升。
福利可能减少是因为消费者原来可以消费（5个苹果，2个橘子），但是现在不能消费原来的消费束了。
即：一般情况下，CPI高估了通货膨胀，GDP平减指数低估了通货膨胀。
1.3 衡量失业：失业率失业率被定义为失业人口占劳动力人口的百分比，即
劳动力就业者人数失业者人数
失业率失业者人数劳动力
劳动力参与率则是指成年人口中属于劳动力的人数的百分比，即
劳动力参与率劳动力成年人口
另外，奥肯定理表明，失业率与实际GDP之间存在负相关关系。失业率每上升1个百分点，实际GDP一般减少2个百分点。
参考文献：
《宏观经济学》.曼昆.中国人民大学出版社.2016-8
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzkzOTQwMTM5MA==&mid=2247485059&idx=1&sn=cc5d40497c1ca18b6b87857586e49c13&chksm=c2f0cf42f5874654608934e3f3a4c42dd94128b530519d0552d1886dc8951f897ef362d86189&cur_album_id=3225976486004752388&scene=190#rd
第2讲：国民收入目录大纲
国民收入什么因素决定物品与劳务的总生产国民收入如何分配给生产要素什么因素决定物品与劳务的需求什么因素使物品与劳务的供求均衡正文
2. 国民收入本讲考察古典经济模型，关键假设是价格有伸缩性。大多数经济学家认为，这个假设描述了长期中经济的行为。
2.1 什么因素决定物品与劳务的总生产经济体中物品与劳务的总生产，即GDP，取决于两个因素：投入数量和把投入变成产出的能力。
我们把投入称为生产要素，而把投入变成产出的能力称为生产函数。
2.1.1 生产要素两种最重要的生产要素是资本（）和劳动（）。在本讲，我们将经济体中的生产要素视为既定，即我们假设资本量和劳动量都是固定的：
另外，我们假设资本和劳动得到了充分利用，即不存在失业和资本闲置的情况。
2.1.2 生产函数令表示产量，相应的生产函数可以写为
即产出是资本量和劳动量的函数。
生产函数反映了把资本和劳动变为产出的可以获得的技术，在本讲我们假设技术不变。
许多生产函数具有规模报酬不变的特征，即，有
2.1.3 物品与劳务的供给由于资本、劳动以及技术均假定不变，因此产出保持不变，即
2.2 国民收入如何分配给生产要素由于一个经济体的总产出等于总收入，因此，生产要素和生产函数不仅共同决定了物品与劳务的总产出，也决定了国民收入。
2.2.1 竞争性企业所面临的决策考虑一个典型企业（竞争性的）的生产函数
竞争性企业将产品价格和投入价格均视为既定。具体地，企业以价格出售产品，以工资雇佣工人，以利率租用资本。
另外，我们假设家庭同时拥有资本和劳动两种生产要素，企业从家庭中获取这两种生产要素进行生产。
相应地，企业的利润为
上式意味着利润取决于产品价格、要素价格和，以及要素量和。由于竞争性企业将产品价格和要素价格视为既定，因此企业选择使利润最大化的劳动和资本量。
2.2.2 企业的要素需求劳动的边际产量（MPL）是指在资本量不变的情况下，企业多雇用1单位劳动所带来的额外产出，即
大多数生产函数具有边际产量递减的性质：在资本量保持不变的情况下，随着劳动量的增加，劳动的边际产量递减。
对利润最大化的企业而言，企业对劳动的需求满足：额外1单位劳动带来的边际收益=额外1单位劳动所需的边际成本。
由于额外1单位劳动生产了单位的产品，因此有
则有
我们将称为实际工资，它是用产品而不是用货币衡量的劳动工资。
类似地，资本的边际产量（MPK）是指在劳动量不变的情况下，企业多租用1单位资本所带来的额外产出，即
和劳动一样，资本也服从边际产量递减。
对利润最大化的企业而言，企业对资本的需求满足：额外1单位资本带来的边际收益=额外1单位资本所需的边际成本。
由于额外1单位资本生产了单位的产品，因此有
则有
我们将称为实际租赁价格，它是用产品而不是用货币衡量的租赁价格。
总之，竞争性的、追求利润最大化的企业对生产要素的需求量满足：要素的边际产量等于要素的实际价格。
2.2.3 国民收入的划分假设经济中所有的企业都是竞争性的和追求利润最大化的，那么，企业向每个工人支付的实际工资为，向每单位资本支付的租赁价格为。因此，企业向劳动支付的实际工资总额为，向资本支付的实际租赁总额为。
企业在支付了生产报酬之后所剩下的收入为企业所有者的经济利润，即
经济利润
由于我们想考察国民收入的分配，因此将上式写为
经济利润
上式表明，总收入可分为劳动收益、资本收益以及经济利润。
根据欧拉定理，我们知道，当生产函数具有规模报酬不变的性质时，经济利润必定为0。
具体而言，规模报酬不变意味着：对，有
等式左边对求导有
等式右边对求导有
因此有
令，有
因此，在规模报酬不变、利润最大化以及竞争性的条件下，企业的经济利润必定为0。
因此，国民收入的分配可进一步写为
另外，上式表明，总产出在劳动收入和资本收益之间的划分取决于它们的边际生产率。
注意，我们需要区分经济利润和会计利润。我们一直假设经济体中存在三个主体：劳动者、资本所有者和企业所有者。相应的收入分为劳动收入、资本收入和经济利润。但在现实世界中，大多数企业所有者和资本所有者是同一个人，即企业拥有而不是租赁它们所用的资本。因此，会计利润被定义为：
会计利润经济利润
2.3 什么因素决定物品与劳务的需求在本讲，为了简化分析，我们假设经济体是一个封闭经济，即不与其他国家进行贸易。那么，经济体的净出口。
此时，国民收入恒等式为
因此，在封闭经济中所生产的物品与劳务有三种用途：家庭消费经济的部分产出，企业和家庭把一些产出用于投资，政府为公共目的购买一部分产出。
2.3.1 消费在上一节我们知道：企业的经济利润为0，家庭作为劳动和资本的所有者得到劳动收入和资本收益，即家庭得到的收入为经济的产出。
在向政府缴纳税收之后，家庭决定将多少税后收入用于消费，多少用于储蓄。
由此，我们将支付税收之后的收入称为可支配收入，家庭将可支配收入分为消费和储蓄。
假设家庭的消费水平直接取决于可支配收入水平，可支配收入越高，消费也越多。即
我们将消费与可支配收入之间的关系称为消费函数。
边际消费倾向（MPC）是指当可支配收入增加1单位时消费的变动量。一般情况下，，家庭通常会将1单位可支配收入部分用于消费，部分用于储蓄。
2.3.2 投资家庭和企业都购买投资品，而投资品的需求取决于利率，利率衡量了为投资筹措资金的成本。
而研究利率在经济中的作用时，我们需要区分名义利率和实际利率。实际利率是根据通货膨胀影响校正的名义利率。在本讲，实际利率衡量了借贷的实际成本，从而决定投资量。
我们将投资与实际利率之间的关系称为投资函数，即
随着利率上升，投资量减少。
2.3.3 政府购买就政府支出而言，我们需要注意：对家庭的转移支付并不包含在中。但是，转移支付增加了家庭的可支配收入。因此，我们将的定义修改为税收减去转移支付（为了简便，我们仍称为税收）。可支配收入既包括税收的负效应，又包括转移支付的正效应。
若政府购买等于税收，即，则政府有平衡预算；若，则政府有预算赤字，此时政府可以通过在金融市场上发行政府债券来为赤字筹资；若，则政府有预算盈余，此时政府可以用盈余来偿还部分未清偿债务。
在本讲，我们将政府购买和税收视为外生变量，。消费、投资和利率视为内生变量。
2.4 什么因素使物品与劳务的供求均衡在本节，我们讨论是什么因素使得消费、投资与政府购买之和等于所生产的产出。可以看到，利率对供求均衡起着重要作用。
有两种方法来考虑利率在经济中的作用：一种是考虑利率如何影响物品与劳务的供求；另一种是考虑利率如何影响可贷资金的供求。
2.4.1 物品与劳务市场的均衡：经济产出的供求根据前面的讨论，我们知道
产出的需求来自消费、投资以及政府购买。消费取决于可支配收入，投资取决于实际利率，政府购买和税收是由财政决策者决定的外生变量。
另外，我们还假定了产出保持不变，即
由此，我们有
等式左边表示产出的供给，等式右边等于对产出的需求。
不难发现，利率是上式中唯一的内生变量。若利率极高，投资极低，则需求小于供给；若利率极低，投资极高，则需求大于供给；在均衡利率时，物品与劳务的需求等于供给。
2.4.2 金融市场均衡：可贷资金的供求国民收入恒等式可以改写为
等式左边是在满足了消费者和政府需求后剩下的产量，我们称之为国民储蓄，简称储蓄（）。
上式表明，储蓄等于投资。
为了更好地理解国民储蓄，我们可以将其分为两部分：一部分是私人储蓄，一部分是政府储蓄。
是可支配收入减去消费，表示私人储蓄；是税收减去政府购买，是政府储蓄（或称为公共储蓄）。国民储蓄是私人储蓄与公共储蓄之和。
上式表明，金融市场的流入（私人与公共储蓄）必定与金融市场的流出（投资）平衡。
为了说明利率如何使得金融市场均衡，我们将消费函数和投资函数代入国民收入恒等式，有
进一步有
在本讲的假设下，储蓄为一固定值，投资取决于利率。
相应地，在图1中，储蓄函数为一条垂线，表示可贷资金的供给；投资函数向右下方倾斜，表示可贷资金的需求。均衡利率使得投资等于储蓄。
图1：储蓄、投资和利率
2.4.3 储蓄的变动：财政政策的影响①政府购买的增加
假设政府购买增加，其直接影响是物品与劳务需求增加。由于总产出固定，因此政府购买的增加必定由其他需求的某种减少来抵消。
由于可支配收入不变，因此消费不变。则政府购买的增加必定由投资的等量减少来抵消。
为了使投资减少，利率必定上升。因此，政府购买增加引起利率上升和投资减少。我们称政府购买挤出了投资。
为了说明政府购买的影响，我们用可贷资金市场来进行说明。
政府购买增加意味着公共储蓄减少，又由于私人储蓄不变，因此国民储蓄减少。相应地，在图2中，国民储蓄从变为，储蓄曲线向左移动，均衡利率从上升到。
图2：储蓄减少
②税收减少
假设税收减少，其直接影响是可支配收入增加了，从而使得消费增加。消费增加量等于，边际消费倾向越高，税收减少对消费的影响越大。
由于总产出固定，政府购买不变，因此消费增加必定要由投资减少来抵消。
为了使投资减少，利率必定上升。因此，税收减少引起利率上升和投资减少。
我们同样可以通过可贷资金市场来进行说明。税收减少意味着公共储蓄减少，私人储蓄增加，因此国民储蓄减少（更为直接的理解是：国民储蓄等于，消费增加意味着国民储蓄减少）。相应地，我们可以使用图2进行分析。
2.4.4 投资需求的变动上一小节我们讨论了财政政策如何影响国民储蓄（可贷资金的供给），本小节我们讨论投资需求（可贷资金的需求）的变动会对市场带来什么影响。
在图3中，投资曲线向右移动表示投资需求增加。均衡点从点移动到点。由于经济体中的储蓄量是固定的，因此投资需求增加使得利率上升，而均衡的投资量不变。换言之，若可贷资金的供给为一固定常数，那么可贷资金需求的增加仅仅提高了均衡利率。
图3：投资需求的增加
但是，如果我们修改消费函数，并使消费取决于利率，那么相应地，储蓄也取决于利率。由于利率是储蓄的收益以及借贷的成本，因此，较高的利率会减少消费并增加储蓄。此时，储蓄曲线为向右上方倾斜的曲线。
图4：储蓄是利率的函数
当储蓄取决于利率时，投资需求增加既提高均衡利率也增加均衡投资量。这是因为更高的利率使人们增加储蓄，而储蓄增加为投资提供了资源。
图5：储蓄、投资均取决于利率
参考文献：
《宏观经济学》.曼昆.中国人民大学出版社.2016-8
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzkzOTQwMTM5MA==&mid=2247485059&idx=1&sn=cc5d40497c1ca18b6b87857586e49c13&chksm=c2f0cf42f5874654608934e3f3a4c42dd94128b530519d0552d1886dc8951f897ef362d86189&cur_album_id=3225976486004752388&scene=190#rd
第3讲：索洛增长模型目录大纲
索洛增长模型资本积累资本的黄金规则水平人口增长技术进步经济增长源泉的核算正文
3. 索洛增长模型本讲考察古典经济模型，关键假设是价格有伸缩性。大多数经济学家认为，这个假设描述了长期中经济的行为。
我们主要介绍经济增长模型——索洛增长模型，这一模型表明了储蓄、人口增长以及技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移的增长。
3.1 资本积累索洛增长模型是为了说明在一个经济体中，资本存量的增长、劳动的增长以及技术进步如何相互作用，以及它们如何影响一国物品与劳务的总产出。
首先我们来看物品的供求如何决定资本积累。在本节，我们假设劳动力和技术不变。
3.1.1 物品的供求索洛模型的物品供给即为经济产出，其大小取决于资本存量和劳动力：
另外，模型假设生产函数具有规模报酬不变的性质，这意味着：
令表示每个工人的产出，表示每个工人的资本量，则生产函数可写为
其中，
索洛模型中的物品需求来自消费和投资，即人均产出可被分为人均消费和人均投资，即
注意，上式没有考虑政府购买和净出口（封闭经济）。
另外，模型假设储蓄率为，，即消费函数为
上式表示，人们将收入的用于储蓄，用于消费。
则我们有
即
上式表明，储蓄率也是用于投资的产出比例。
现在我们已经介绍了索洛模型中的两个主要要素：生产函数和消费函数。对于任何一个既定的资本存量，生产函数决定了经济生产多少产出，储蓄率决定了产出在消费和投资之间的配置。
3.1.2 资本存量的增长与稳定状态影响资本存量的两个因素：投资与折旧。投资是指用于新工厂和设备的支出，它使得资本存量增加；折旧是指原有资本的磨损，它使得资本存量减少。
我们已经知道，人均投资，人均产出。则
则消费函数为
图1说明了储蓄率如何决定产出在消费和投资之间的配置。
图1：产出、消费以及投资
假设资本折旧率为，每年折旧的资本量为。则资本存量的变动为
资本存量变动投资折旧
进一步有
在图2中，资本存量越多，投资越多，但资本折旧也越多。同时，我们可以看到，存在一个唯一的使投资量等于折旧量的资本存量。在资本存量水平下，投资和折旧正好平衡。即，在时，，资本存量和产出将保持稳定。此时我们将称为稳定状态的资本水平，有
稳定状态代表经济的长期均衡。这是因为无论经济开始时的资本水平如何，总是以稳定状态的资本水平为结束。
假设经济开始时的资本存量水平小于稳定状态的资本存量水平，如，此时投资水平大于折旧量。随着时间的推移，资本存量将增加，并一直增加到为止。
同样，假设经济开始时的资本存量水平大于稳定状态的资本存量水平，如，此时投资水平小于折旧量。随着时间的推移，资本存量将减少，并一直减少到为止。
图2：投资与折旧
3.1.3 储蓄如何影响增长现在我们来看储蓄对增长的影响。
考虑当一个经济体储蓄率提高所出现的情况，如图3所示。假设经济体在开始时处于稳定状态，储蓄率为，资本存量为。当储蓄率从上升为时，曲线向上移动。
在开始时的储蓄率和资本存量水平时，投资量正好与折旧量抵消。在储蓄率上升时，投资立即增加，但资本存量的折旧量为，从而投资大于折旧，资本存量逐步增加，直到经济达到新的稳定状态为止。
在新的稳定状态下，，。
索洛模型表明，储蓄率是决定稳定状态资本存量的关键因素。如果储蓄率高，则经济将有大量资本存量和高产出水平。如果储蓄率低，则经济将有少量资本存量和低产出水平。
前面我们提到，政府预算赤字会减少国民储蓄和挤出投资。而索洛模型告诉我们，减少储蓄率的长期结果是较低的资本存量和较低的国民收入。这就是为什么许多经济学家批评长期预算赤字的原因。
图3：储蓄率提高
另外，需要注意的是，在索洛模型中，提高的储蓄加快了增长，但这只是暂时的。在经济达到新的稳定状态水平之前，储蓄率的提高加快了经济增长；在经济达到新的稳定状态水平时，储蓄率对经济增长率没有贡献。即高储蓄引起了稳定状态时的高产出水平，但储蓄本身不能引起长期的经济增长。
3.2 资本的黄金规则水平到目前为止，我们用索洛模型考察了储蓄如何影响一国的资本存量和收入水平。这会使我们认为，高储蓄率是一件好事，因为它会带来更高的收入。假设一国的储蓄率为100%，那么将会带来最大可能的资本存量和最大可能的一国收入。
但是，在上述考虑中，我们忽略了消费这一因素。
下面我们来看，从经济福利的角度看，多少资本积累量是最优水平。
3.2.1 比较各种稳定状态假设决策者可以把经济的储蓄率确定在任何水平上。并且，决策者通过确定储蓄率来决定经济的稳定状态。在选择稳定状态时，决策者的目的是使得组成社会的个人福利最大化。个人本身并不关心经济中的资本量，甚至也不关心产出。个人关心的是他们可以消费的物品与劳务量。因此，决策者要选择使得消费水平最高的稳定状态。
我们将使消费水平最大化的稳定状态值称为资本的黄金规则水平。
在稳定状态的资本水平下，我们有
因此，稳定状态下的人均消费为
上式表明，稳定状态的消费是稳定状态的产出在支付了稳定状态之后的折旧之后所剩下来的，如图4所示。
显然，最大化人均消费的一阶条件为
即在资本的黄金规则水平，生产函数的斜率与折旧曲线的斜率相同。
若资本存量低于黄金规则水平，则资本存量增加引起的产出增加大于折旧，从而消费增加。若资本存量高于黄金规则水平，则资本存量增加引起的产出增加小于折旧，从而消费减少。
图4：稳定状态消费
我们知道，生产函数的斜率表示资本的边际产量，因此，在资本的黄金规则水平下，有
增加1单位资本所带来的边际产品为，所引起的额外折旧为，因此，额外1单位资本对消费的净影响为。若，则资本的增加提高了消费；若，则资本的增加减少了消费。
注意，经济并不会自动的趋于黄金规则稳定状态。只有当经济体中的储蓄率满足
时，稳定状态的资本存量才会等于黄金规则水平。
在图5中，储蓄率的任何变动都会使移动，并使经济移动到较低消费水平的稳定状态。当储蓄率高于时，稳定状态的资本存量过高；当储蓄率低于时，稳定状态的资本存量过低。在这两种情况下，稳定状态的消费都小于在黄金规则稳定状态时的水平。
图5：储蓄率和黄金规则
3.2.2 向黄金规则稳定状态的过渡假设经济达到了稳定状态但是没有达到黄金规则稳定状态。那么，当经济向黄金规则稳定状态过渡时，我们来看消费、投资、资本存量将如何变动。
我们需要考虑两种情况：经济开始时的资本比黄金规则稳定状态时多；经济开始时的资本比黄金规则稳定状态时少。
①资本太多
首先来看经济开始时的资本比黄金规则稳定状态时多的情况。在此情形下，决策者应实施降低储蓄率的政策，以减少资本存量。假设政策成功，储蓄率在时刻降到最终引起黄金规则稳定状态的水平（假定储蓄率只在发生变动）。
图6表明了在储蓄率下降时，消费、投资以及产出的变化情况。
我们知道，
假设最初的稳定状态资本水平为，在时刻，储蓄率下降时，投资立即减少，消费立即增加（这一时刻我们可以认为资本存量仍旧为）。因此，在，投资和消费存在跳跃，但产出没有跳跃。
在最初的稳定状态时，投资等于折旧。而当储蓄率下降时，投资减少，从而使得投资小于折旧，经济不再处于稳定状态，资本存量逐步减少。由此导致产出减少，消费减少，投资减少。这些变量会一直下降到经济达到新的稳定状态为止。
由于我们假设新的稳定状态为黄金规则稳定状态，因此，尽管产出和投资减少，但消费大于开始时的消费量。
图6：储蓄率下降
②资本太少
再来看经济开始时的资本比黄金规则稳定状态时少的情况。在此情形下，决策者应实施提高储蓄率的政策，以增加资本存量。假设政策成功，储蓄率在时刻上升到最终引起黄金规则稳定状态的水平（假定储蓄率只在发生变动）。
图7表明了在储蓄率上升时，消费、投资以及产出的变化情况。
与上面的分析类似。
假设最初的稳定状态资本水平为，在时刻，储蓄率上升时，投资立即增加，消费立即下降（这一时刻我们可以认为资本存量仍旧为）。因此，在，投资和消费存在跳跃，但产出没有跳跃。
在最初的稳定状态时，投资等于折旧。而当储蓄率上升时，投资增加，从而使得投资大于折旧，经济不再处于稳定状态，资本存量逐步增加。由此导致产出增加，消费增加，投资增加。这些变量会一直增加到经济达到新的稳定状态为止。
由于我们假设新的稳定状态为黄金规则稳定状态，因此，消费大于开始时的消费量。
图7：储蓄率上升
可以发现，引起黄金规则稳定状态的储蓄率最终提高了经济福利，因为消费水平高于开始时的消费水平。但是，在资本较少的这一情形，达到新稳定状态要求在开始时期减少消费。即：当经济从高于黄金规则开始时，向黄金规则稳定状态过渡的所有时点都有较高的消费；当经济从低于黄金规则开始时，向黄金规则稳定状态过渡要求最初减少消费以增加未来的消费。
当决定是否要达到黄金规则稳定状态时，决策者必须考虑现在的消费者和未来的消费者并不总是同样的人。当经济最初低于黄金规则时，达到黄金规则要求增加投资，从而降低现在这一代人的消费。因此，当选择是否增加资本积累时，决策者面对不同的几代人之间福利的交替关系。
3.3 人口增长上述对资本积累的讨论表明，资本积累本身并不能解释持续的经济增长。高储蓄率引起暂时的高增长，但经济最终要达到资本与产出不变的稳定状态。为了解释我们在世界大多数国家观察到的持续经济增长，我们把索洛模型扩展到其他两个经济增长的源泉：人口增长和技术进步。
我们先考虑人口增长。
假设人口和劳动力均按照一个不变的比率增长，即。
3.3.1 人口增长时的稳定状态假设第期有：
则在期，有
其中，是新增投资，是除去折旧之后的资本余量。
因此，
由于，因此有
即
因此
上式表明，新投资增加了人均资本存量，而资本折旧和人口增加减少了人均资本存量。我们将称为收支相抵的投资，即保持人均资本存量不变（即使得人均资本存量仍旧为）所需要的投资量。收支相抵的投资包含现有资本的折旧，为新工人提供资本所需要的投资量，因为是新工人数，是每个工人的平均资本量。
当经济处于稳定状态资本水平时，有，即
此时投资抵消折旧和人口增长的影响，如图8所示。
图8：人口增长下的稳定状态
注：我们可将近似写为：
这是因为是一个很小的数，。
3.3.2 人口增长的影响人口增长的加入在三方面改变了基本索洛模型。
第一，它使我们更好地解释经济增长。
在人口增长的稳定状态中，人均资本和人均产量是不变的。但是，总资本和总产出以比率增长。这是由于
根据，，有,。
因此，尽管人口增长不能解释生活水平的持续提高（因为稳定状态时人均产出不变），但它有助于解释总产出的持续增长。
第二，人口增长为不同国家的贫富差异提供了解释。在图9中，人口增长率从提高到时，稳定状态人均资本水平从下降为，从而人均产出降低。因此，索洛模型认为，人口增长率较高的国家，人均GDP水平较低。
图9：人口增长率提高
第三，人口增长影响黄金规则资本水平。
我们知道，在稳定状态的资本水平下，我们有
因此，稳定状态的消费为
最大化消费的一阶条件为
或写为
上式表明，在黄金规则资本水平时，资本的边际产量减去折旧率等于人口增长率（即资本的净边际产量等于人口增长率）。
3.4 技术进步为了解释我们在大多数国家观察到的生活水平的长期提高，我们将技术进步引入至模型中。
3.4.1 劳动效率生产函数被写为
其中，被称为劳动效率，衡量了效率工人的人数。
假设技术进步引起劳动效率以某种不变的比率增长，即。我们将这一技术进步称为劳动增进型技术进步。
由于；，则效率工人的数量按的比率增长。
上述近似是由于数值很小，，故可忽略。
3.4.2 技术进步时的稳定状态与前面对人口增长的分析类似，我们令代表每个效率工人的资本，代表每个效率工人的产出。同样地，我们有
资本存量变化等于投资减收支相抵的投资。收支相抵的投资包括三项：为使不变，是替代折旧的资本所需要的，是为新工人提供资本所需要的，是为技术进步所创造的新的效率工人提供资本所需要的。
在稳定状态资本水平时，每个效率工人的资本和每个效率工人的产出均保持不变。
图10：技术进步下的稳定状态
3.4.3 技术进步的影响在稳定状态时，效率工人的人均资本不变，因此效率工人的人均产出不变。但对于每个实际工人来说，人均产出按比率增长，人均资本按比率增长，总产出按比率增长。
增加了技术进步的模型可以对我们所观察到的生活水平的持续提高进行解释。从上面的分析可以看到，技术进步会引起人均产出的持续增长。索洛模型告诉我们：只有技术进步能解释生活水平的长期上升。
技术进步也会影响黄金规则资本水平。
我们知道，在稳定状态的资本水平下，我们有
因此，稳定状态的消费为
最大化消费的一阶条件为
或写为
即，在黄金规则资本水平时，资本的边际产量减去折旧率等于总产出增长率（即资本的净边际产量等于总产出增长率）。
3.5 经济增长源泉的核算经济增长核算将产出增长的源泉分为三个部分：劳动增加、资本增加以及技术进步。
我们将生产函数写为：
其中，被称为全要素生产率，衡量了现期技术水平。
由于生产函数规模报酬不变，因此有
产出的增加来自三个源泉：劳动增加、资本增加以及技术进步。因此有
上式右边的第一项是资本增加引起的产出增加，第二项是劳动增加引起的产出增加，第三项是技术进步引起的产出增加。
进一步有
由于是资本在产出中的份额，是劳动在产出中的份额，两者之和为1。因此我们令
则有
产出增长资本的贡献劳动的贡献全要素生产率的提高
由于全要素生产率无法被直接观察到，因此需要间接衡量，即
是不能用投入变动解释的产出变动率。可以看到，全要素生产率的增长是作为一个余量被计算出来的，因此我们也将称为索洛余量，其常常被作为技术进步的衡量指标。
参考文献：
《宏观经济学》.曼昆.中国人民大学出版社.2016-8
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