第五章 傅里叶变换及其应用 第一节 傅里叶变换的基础知识 一、傅里叶变换的定义及其考点 3.13组必背的傅里叶变换对
基本信号
单位脉冲信号：δ(t)↔1单位阶跃信号：u(t)↔ jω1 +πδ(ω)（注意，这是单边傅里叶变换的结果）
正弦与余弦信号正弦信号：Asin(ω 0 t)↔ 2A [δ(ω−ω 0 )−δ(ω+ω 0 )]
余弦信号：Acos(ω 0 t)↔ 2A[δ(ω−ω 0 )+δ(ω+ω 0 )]指数信号衰减指数信号：e −αtu(t)↔ α+jω1增长指数信号（注意，通常不收敛，但理论上有意义）：e αt u(t)↔ α−jω1（需谨慎使用）
矩形脉冲信号宽度为T的矩形脉冲：rect( Tt)↔T⋅sinc( 2πωT )三角波信号三角波：Λ(t)↔ ∣ω∣1（在− T2π <ω< T2π 内）
周期信号的傅里叶级数一般形式：x(t)=∑ n=−∞∞ c n e jnω 0t ，其中c n= T1∫ T x(t)e −jnω 0 tdt周期信号的频谱频谱线位于nω 0处，幅度为∣c n ∣卷积定理
时域卷积等于频域乘积：x(t)∗y(t)↔X(ω)Y(ω)
频域卷积等于时域乘积（需考虑2π因子）：x(t)y(t)↔ 2π1X(ω)∗Y(ω)
调制与解调
调制：将低频信号与高频载波相乘，实现频谱搬移
解调：调制信号的逆过程，提取低频信号
帕斯瓦尔定理
能量守恒：∫ −∞∞∣x(t)∣ 2 dt= 2π1 ∫ −∞∞ ∣X(ω)∣ 2 dω
相关定理
自相关与互相关在频域的表现
离散时间傅里叶变换（DTFT）
离散时间信号的频域表示，与连续时间傅里叶变换类似但周期为2π
离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）
DFT是DTFT在有限长度序列上的离散化
FFT是DFT的高效算法，广泛应用于数字信号处理
🔍复习小贴士：
理解原理：每个公式都要理解其背后的物理意义和数学推导过程。
记忆技巧：寻找公式之间的内在联系和记忆规律，如对称性、周期性等。
应用实践：通过大量练习来巩固记忆和提高应用能力。
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