在我们生命的早期阶段,数字的概念就已悄然进入我们的世界。早在我们牙牙学语之时,我们就已经开始与数学建立起联系。
最开始,父母会向我们介绍那些基础的数字——1、2、3、4。而当我们踏进幼儿园的大门,便开始学习那些最基础的加减运算。
回顾人类文明的历程,数学的发展似乎也遵循类似的路径,从最基本的计数技巧开始,例如使用结绳记事的方式来计数,这一切都是从自然数开始的。
在我们人类的早期思维中,自然数似乎是最干净利落的表达方式,它们最能代表自然界的秩序。
然而,随着时间的推移,人们逐渐意识到,自然数已经不足以描述自然界的全部现象。例如,当我们需要将一个苹果平均分给两个人,每个人得到半个苹果时,我们该如何用数字来描述这半个苹果呢?
于是,小数(或分数)的概念应运而生,人们关于数学的理解也向前迈出了一大步。
随着数学研究的深入,数学本身的简洁性和优美性愈发显现,人们坚信数学能够描绘自然界中的任何现象。
然而,一个出乎意料的发现彻底颠覆了人们对数学的既有理解。
当研究等腰直角三角形时,人们发现了一个不同寻常的现象。假设等腰三角形的两个直角边的长度为1,那么斜边的长度根号2究竟是多少呢?
数学家们经过计算发现,根号2是一个无穷无尽的小数,无论采用何种方法,似乎都无法将其彻底计算出来。
更让数学家们焦虑的是,根号2不仅是一个无限小数,而且似乎没有规律可循,不像1/3那样虽然也是无限小数,但至少可以通过分数简洁地表示。
于是,人们开始对自然数的简洁性产生怀疑,并且发现像根号2这样的无理数似乎比想象中更为常见。
无理数的存在促使人们深入研究,人们相信这些数中一定隐藏着数学的深层次奥秘。
在这一过程中,数学界迎来了第一次数学危机,其中最为典型的便是芝诺悖论。
芝诺悖论中的一个例子是这样的:你和一只乌龟赛跑,乌龟在你前方100米处出发,而你的速度是乌龟的10倍。即便如此,按照芝诺的说法,你永远也追不上乌龟。因为无论你跑了多少路程,乌龟总是能前进一小段距离,两者总是有距离相隔。
然而,在现实中,我们清楚地知道,你肯定能超过乌龟,因为速度上的优势使得距离的差距不断缩小,最终被消除。
这引发了人们对无穷概念的思考。人们意识到,在有限的时间内,你不可能完成对无穷段距离的逐一切分。同样的,1+1/2+1/4+1/8……这样的序列,其结果永远是有限的,而不是无穷大。
对无穷的理解使人们成功解决了第二次数学危机。
我们再来简单解释一下所谓的第二次数学危机,即0.999……和1是否相等的问题。在当时,许多人认为0.999……总是比1小那么一点点,因为它始终无法达到1,只是无限接近而已。
但随着时间的推移,人们发现0.999……实际上就是1,两者是同一数值。第二次数学危机的本质其实是对微积分概念的误解。
即便是在今天,也有很多人未曾学习过微积分,所以仍不理解其本质,仍旧坚持认为0.999……比1小。
第三次数学危机则被称作“集合论悖论”,其典型代表便是“罗素悖论”。
我们可以这样通俗地解释罗素悖论:假设有一个非常厉害的理发师,他的店门口贴着告示:“我可以为任何不能给自己理发的人理发”。那么问题来了:这位理发师是否可以为自己理发呢?如果他可以,那他的告示就是不正确的;如果他不能,那么根据告示的内容,他又应该可以给自己理发,这显然产生了矛盾。
罗素悖论其实是对逻辑和集合定义的辩驳,但至今仍无人能提供一个完美的解释。
罗素悖论也有一个类似的例子:假设上帝是全能的,那么他是否可以创造出一块他自己都搬不动的石头呢?无论答案是肯定还是否定,都会导致矛盾。
从哲学的角度看,罗素悖论与其说是集合上的悖论,不如说是一个关于本体论的哲学问题。它首先将自己置身事外,但最终发现无论如何,自己都无法逃脱成为一个事物的一部分的命运,因此,最根本的问题是:一个事物是否真正存在于其他事物之中?
这实际上体现了唯心主义的观念。如果整个世界只是你的幻觉,那么“你”本身是否也是虚幻的呢?如果你的回答是肯定的,那么,你对“世界是虚幻的”这一论断的质疑是否也仅仅是一个幻觉呢?
这样无休止的循环,只会让我们陷入一个死角,永远找不到出路。
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无限接近1不等于1。但是无限循环会把电脑烧掉
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