古印度，作为四大文明古国之一，在数学与科学领域取得了令人瞩目的成就，为人类文明的发展做出了重要贡献。

在数学方面，古印度有着深厚的底蕴和独特的创新。自哈拉巴文化时期起，古印度人就采用了十进位制，但早期尚未形成位值法。大约公元 7 世纪以后，位值法记数开始出现，不过当时还没有“0”的符号，仅用空一格来表示。到了公元 9 世纪后半叶，零的符号“.”出现，至此古印度的十进制位值法记数得以完备。后来，这种记数法被中亚地区诸多民族采用，并经阿拉伯人传播至欧洲，逐渐演变成现今世界通用的“阿拉伯记数法”。实际上，真正对阿拉伯数字做出贡献的正是古印度人。

《准绳经》是现存古印度最早的数学著作，约成书于公元前 5 至前 4 世纪，主要涉及祭坛修筑，其中包含了一些几何学知识，表明当时的古印度人已经知晓勾股定理，并使用圆周率π为 3.09，且在天文计算中运用了三角形。

公元 499 年成书的《圣使集》中有关数学的内容达 66 条，涵盖了算术运算、乘方、开方以及部分代数学、几何学和三角学的规则。圣使还研究了两个无理数相加的问题，得出正确公式，他算出的圆周率为 3.1416。在三角学方面，他引入了正矢函数。

公元 7 至 13 世纪是古印度数学成就最为辉煌的时期。梵藏（约 589～？）约于 628 年写成《梵明满悉檀多》，对众多数学问题进行了深入探讨。他是古印度最早引进负数概念的人，还提出了负数的运算方法。梵藏对零作为一个数已有一定认识，但错误地认为零除零等于零。他给出了解一般二次方程的规则，得出二次方程 x2 + px - q = 0 的根为[ -p ± √(p^2 + 4q) ] / 2 。此外，他还提供了 ax + by = 0 的整数解以及处理不定方程 ax2 + 1 = y2 的方法，其最重要的成果是得出了求等差数列末项以及数列之和的正确公式。

大雄（9 世纪）继承前人的工作，其主要著作是《计算精华》。他认识到零乘以任何数都等于零，然而也错误地认为以零除一个数仍等于这个数。大雄对分数的研究颇具意义，他意识到以一个分数除另一个分数，等于把这个分数的分子分母颠倒相乘。

室利驮罗（999～？）现存的数学著作有《算法概要》，据说他还有一部专门论述二次方程的作品。他主要致力于二次方程解法的研究。

而这一时期数学成就最大的当属作明（1114～？）。他的《历数全书头珠》中的《嬉有章》和《因数算法章》反映了古印度数学的最高成就，是那个时代的杰出代表。作明对零进行了更深入的研究，正确指出以零除一个数为无限大。他持续钻研二次方程求解问题，知晓一个数的平方根有两个，一正一负，同时明确负数的平方根没有意义。在不定方程的研究中，作明取得了显著成绩，通过巧妙方法解决了许多不定方程求整数解的难题。

在科学领域，古印度也有着诸多重要的贡献。

古印度的天文学发展较为突出。他们对天体的观测和研究有着悠久的历史，通过长期的观测积累了丰富的天文数据。他们对行星的运动、日月食等天文现象有着较为准确的记录和解释。古印度天文学的发展与宗教有着密切的联系，宗教经典中也包含了一些天文知识。

古印度的医学同样有着辉煌的成就。他们的医学体系包含了丰富的理论和实践经验。阿育吠陀医学是古印度医学的重要代表，强调身体、心理和精神的平衡与健康。阿育吠陀医学认为人体由三种能量（doshas）构成，疾病是由于这些能量的失衡引起的。医生们通过草药、按摩、瑜伽等多种方法来治疗疾病，注重预防和整体的健康观念。

古印度的科学成就不仅仅局限于数学、天文学和医学。在物理学、化学等领域，他们也有一定的探索和发现。例如，他们对物质的性质、光学现象等有初步的认识和理解。

古印度的科学成就对周边国家乃至世界科学的发展产生了深远的影响。其数学成果的传播推动了其他地区数学的进步，为科学计算和交流提供了便利的工具。天文学知识的交流丰富了人类对宇宙的认识。医学体系的传播为其他地区的医学发展提供了借鉴和启示。

总之，古印度的数学与科学成就展现了其古代人民的智慧和创造力。这些成就不仅是古印度文明的瑰宝，也是人类科学文化遗产的重要组成部分，对后世科学的发展产生了不可磨灭的影响，至今仍然值得我们深入研究和学习。