CTF密码学之RSA攻击算法

实验推荐：

本文涉及靶场知识点：RSA之小公钥指数攻击

https://www.hetianlab.com/expc.do?ec=ECIDea39-a4f3-4e24-8cb6-37556c183e43&pk_campaign=weixin-wemedia

通过该实验了解CTF中常见和以前奇葩题型，有助于我们学习更多的内容。本次实验我们将学习RSA中小公钥指数的情况，例如在e特别小的情况下如何去生成私钥。

前言：

学习完基本数论后，我们开始学习 RSA 的各种攻击算法及其数学原理。希望大家在学习的过程中更多的去关注攻击算法实现的原理，而不仅仅只在于 copy 攻击代码。

工具准备：

工具和第三方库的安装教程请自行百度

python3.8环境：https://www.python.org/downloads/windows/大素数分解工具:factordb在线分解：http://factordb.com/win10 yafu-x64：https://sourceforge.net/projects/yafu/python第三方库：gmpy2pycryptodomelibnumsympyrsa

RSA加密类型：公钥解析，签名加密利用公约数求解分解 N 得到多个相同的 Pdp、dq 泄露dp 泄露Roll 按行加密共模攻击低加密指数攻击低加密指数广播攻击低解密指数攻击

1.公钥解析,签名加密

如果题目给了pem或者key后缀结尾的文件，用工具解析出n和e。或者可以用kali自带的Openssl从公钥文件中提取出n和e。

命令：openssl rsa -pubin -text -modulus -in key.pem

例题：1

BUURSA： https://buuoj.cn/challenges#RSA

公钥文件

-----BEGIN PUBLIC KEY-----MDwwDQYJKoZIhvcNAQEBBQADKwAwKAIhAMAzLFxkrkcYL2wch21CM2kQVFpY9+7+/AvKr1rzQczdAgMBAAE=-----END PUBLIC KEY-----

在线网站解析公钥：http://ctf.ssleye.com/

得到n和e之后，用factordb：http://factordb.com/

分解模n，得到p,q的值。

import rsa #rsa模块from gmpy2 import* #gmpy2模块e= 65537n= 86934482296048119190666062003494800588905656017203025617216654058378322103517p= 285960468890451637935629440372639283459q= 304008741604601924494328155975272418463#求私钥d'''phi = (p-1)*(q-1)d = invert(e,phi) #gmpy2.invert(),用来求模逆的方法print(d)'''d= 81176168860169991027846870170527607562179635470395365333547868786951080991441key = rsa.PrivateKey(n,e,d,q,p) #在pkcs标准中,pkcs#1规定,私钥包含(n,e,d,p,q)with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\flag.txt","rb") as f: #以二进制读模式，读取密文 f = f.read() print(rsa.decrypt(f,key)) # f:公钥加密结果 key:私钥

例题：2020西湖论剑BrokenSystems题目

BrokenSystems.py

from Crypto.PublicKey import RSAfrom Crypto.Cipher import PKCS1_OAEPfrom secret import flagimport osrsa = RSA.generate(2048)public_key = rsa.publickey().exportKey()f=open("public.key","w")f.write(public_key.decode())f.close()rsakey=RSA.importKey(open("public.key","r").read())rsa = PKCS1_OAEP.new(rsakey)msg=rsa.encrypt(flag.encode())f=open("message","wb")f.write(msg)f.close()

public.txt

message.txt

'Ω?奟?ypG睉晜< U,.W?盔敲m銖?.嗘7?s来薶只Z???'D?夞%莰}?~a,妄姷槢谏v}玊??#ad??$ 爝湆鄃 0遀; #缮刜2?顪娪k+需?捨HD篹枒筡婌辆赅?跌婊 CD瓦?3?h¬?V?p琙|黡UU沯?酟讵分b澾硲€}?~QJ?绫摪偑鳕塖?I骟?费JB_?O0&?髀SxN岑y?

解题思路

首先进行公钥解析得到 n，e的值：

n = 24493816160588971749455534346389861269947121809901305744877671102517333076424951483888863597563544011725032585417200878377314372325231470164799594965293350352923195632229495874587039720317200655351788887974047948082357232348155828924230567816817425104960545706688263839042183224681231800805037117758927837949941052360649778743187012198508745207332696876463490071925421229447425456903529626946628855874075846839745388326224970202749994059533831664092151570836853681204646481502222112116971464211748086292930029540995987019610460396057955900244074999111267618452967579699626655472948383601391620012180211885979095636919e = 3683191938452247871641914583009119792552938079110383367782698429399084083048335018186915282465581498846777124014232879019914546010406868697694661244001972931366227108140590201194336470785929194895915077935083045957890179080332615291089360169761324533970721460473221959270664692795701362942487885620152952927112838769014944652059440137350285198702402612151501564899791870051001152984815689187374906618917967106000628810361686645504356294175173529719443860140795170776862320812544438211122891112138748710073230404456268507750721647637959502454394140328030018450883598342764577147457231373121223878829298942493059211583

我们可以看出，e的值特别大。尝试winner攻击，解得 d。(winner攻击在后面低解密指数攻击会详细介绍)

这时发现我们已知了n, e , d；但N不能直接分解，这里涉及到一个解密算法已知n, e , d，求P,Qhttps://www.di-mgt.com.au/rsa_factorize_n.html

得到n，e，d，p，q的值后，通过分析加密代码我们可以知道这里涉及Crypto.Cipher.PKCS1_OAEP 和 Crypto.PublicKey.RSA 的加密协议

Crypto的官方学习源文件https://pythonhosted.org/pycrypto/Crypto-module.html

Python3解密脚本：

from Crypto.Cipher import PKCS1_OAEPfrom Crypto.PublicKey import RSAn = 24493816160588971749455534346389861269947121809901305744877671102517333076424951483888863597563544011725032585417200878377314372325231470164799594965293350352923195632229495874587039720317200655351788887974047948082357232348155828924230567816817425104960545706688263839042183224681231800805037117758927837949941052360649778743187012198508745207332696876463490071925421229447425456903529626946628855874075846839745388326224970202749994059533831664092151570836853681204646481502222112116971464211748086292930029540995987019610460396057955900244074999111267618452967579699626655472948383601391620012180211885979095636919e = 3683191938452247871641914583009119792552938079110383367782698429399084083048335018186915282465581498846777124014232879019914546010406868697694661244001972931366227108140590201194336470785929194895915077935083045957890179080332615291089360169761324533970721460473221959270664692795701362942487885620152952927112838769014944652059440137350285198702402612151501564899791870051001152984815689187374906618917967106000628810361686645504356294175173529719443860140795170776862320812544438211122891112138748710073230404456268507750721647637959502454394140328030018450883598342764577147457231373121223878829298942493059211583d = 1779217788383673416690068487595062922771414230914791138743960472798057054853883175313487137767631446949382388070798609545617543049566741624609996040273727p = 149604112324264915811376746906108325951188179904814259006959765070266946659481820938211689946210254302179197289522748397160602946376246768419310765669852537378426700376878745285639531531077237124655345323906476180103106894642043615024716862503414785057646920410083538192951872861366496901158348770066798098371q = 163724217068973025857079545677048587508164102644298632911494474022224582218067057349189211462632427829087720476013052665037199232658015194718500750961261016558605363103092187533086949903145449057015220561698195502163792192055762108803714387175594231859738263839090338762578040513451585421537323416472060788989key=RSA.construct((n, e, d, p, q))cipher = PKCS1_OAEP.new(key)with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\message.txt","rb") as f: #以二进制读模式，读取密文 f = f.read() flag = cipher.decrypt(f) print(flag)

代码中有看不懂的地方，如果是关于第三方库模块的，请认真学习一下上面的Crypto的官方学习源文件

2. 利用公约数求解

如果两次公钥的加密过程中使用的 n1 和 n2 具有相同的素因子，则可以利用欧几里得算法直接将 n1 和 n2 分解

p = gmpy2.gcd(n1,n2) #gmpy2库函数gcd(),用于求最大公约数。

自定义函数gcd()欧几里得算法

def gcd(a,b): if a<b: a,b = b,a while(b!=0): temp = a%b a = b b = temp return a

对于欧几里得算法的时间复杂度，即便是4096bit级别的也是秒破级别。

3. 分解 N 得到多个相同的 P知识点：1.欧拉函数的性质：

p为素数，所以 φ

2.RSA加密公式：

n=p*q，φ

mod φ， mod

mod

例题：

由于暂时未找到这个考点的题目，下面的这个例题用的是一个博主发的

import gmpy2 import random from Crypto.Util.number import * from flag import flag def generate_key(1024): p = getPrime(1024) r = random.randint(2, 10) s = random.randint(r, 1024) while True: e = random.randint(3, p**r*(p-1)) if gmpy2.gcd(e, p**s*(p-1)) == 1: break pubkey = (long(e), long(p**r)) #返回e 和p^r return pubkey def crypt(msg, pubkey): e, n = pubkey #e n=p^r m = bytes_to_long(msg) assert m < n - 1 enc = pow(m, e, n) return long_to_bytes(enc) nbit = 1024 pubkey = generate_key(1024) print 'pubkey =', pubkey #输出e 和p^r msg = flag值 enc = crypt(msg, pubkey) print 'enc =\n', enc.encode('base64')

解题思路：

通过分析加密脚本，我们可以知道：

已知e, , enc的值了。

由欧拉函数的性质可以得到：phi=φ

要求得 mod ,则先求d。由于 mod φ，求得d，则先求φ(n)题目给的是 ,所以先要分解n以获得p和r的值。

4. dp、dq 泄露攻击条件：

已知p，q，dp，dq，c

关系公式：

解密公式：modmodI:乘法逆元，I=invert(q,p)解密数学原理：

利用中国剩余定理可得： mod ， mod

证明：

由 mod ,得

因为 ,所以

上述公式中，同时取余p和q，可分别得到： mod ， mod

所以，代入 mod 可得： mod

等式两边同时减去，可以得到： mod

这里因为gcd(p,q)=1 ,所以可以得到p的逆元，得： mod ( 表示p的逆元，可用gmpy2.invert(q,p)函数求得)

即： mod

由 mod 和

可得到：

mod

代入 mod 得： mod mod

例题：

BUURSA1

p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229 q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469 dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929 dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041 c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852解题代码:from gmpy2 import*from libnum import*p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229 q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469 dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929 dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041 c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852#n=p*qI = invert(q,p) #求p的逆元mp = pow(c,dp,p) #求幂取模运算mq = pow(c,dq,q) #求幂取模运算m = (((mp-mq)*I)%p)*q+mq #求明文公式#m = m%n(可以加上，不加也没事，这里数值不大)print(n2s(m)) #n2s()函数，用于数值转字符串

5. dp 泄露攻击条件：

已知e，n，dp，c

关系公式：

dp≡d mod (p-1)φ mod φ mod

解密数学原理：

思路：

1.破解m的关键在于获取到d利用gmpy2库，d=gmpy2.invert(e,φ(n))2.由φ ，dp≡d mod (p-1)

可得到(p-1),进而得到p,q因为n已知,n=p*q证明：

mod 推导：为整数

由 mod 得

所以：推导得：

令:，即

因为

所以

3.求出p后即可求出q，进而求得φ(n)，得到d通过遍历x，可求出存在p，使得n % p=0

关键代码：

for i in range(1,e): #在范围(1,e)之间进行遍历 if(dp*e-1)%i == 0: if n%(((dp*e-1)//i)+1) == 0: #存在p，使得n能被p整除 p=((dp*e-1)//i)+1 q=n//(((dp*e-1)//i)+1) phi=(q-1)*(p-1) #欧拉定理 d=gmpy2.invert(e,phi) #求模逆 m=pow(c,d,n) #快速求幂取模运算

例题：

BUURSA2

题目

e = 65537n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751

解题脚本：from gmpy2 import*from libnum import*e = 65537n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751for i in range(1,e): #在范围(1,e)之间进行遍历 if(dp*e-1)%i == 0: if n%(((dp*e-1)//i)+1) == 0: #存在p，使得n能被p整除 p=((dp*e-1)//i)+1 q=n//(((dp*e-1)//i)+1) phi=(q-1)*(p-1) #欧拉定理 d=invert(e,phi) #求模逆 m=pow(c,d,n) #快速求幂取模运算print(n2s(m)) #16进制转文本

6. Roll 按行加密例题：

BUU RSAROLL https://buuoj.cn/challenges#RSAROLL

题目：

解题思路：

由图二可知 N 和 e 的值。把图二中的每行数据进行解密：

from gmpy2 import*from libnum import*n=920139713p=18443q=49891e=19phi = (q-1)*(p-1)d=invert(e,phi)m=""with open("C:\\Users\\MIKEWYW\\Desktop\\BUURSA题目\\ROLL\\Data.txt","r")as f: for i in f.readlines(): #读取每一行 m+=n2s(pow(int(i),d,n)) print(m)

注意读取的密文数据要新建一个文本：只保留卷轴数据

7. 共模攻击背景：

共模攻击，Common Modulus Attack,也称为同模攻击。同模攻击利用的大前提就是，RSA体系在生成密钥的过程中使用了相同的模数n。

对于同一条明文m，新手小白A和B对其进行加密：A: mod B: mod

如果，此时有一个攻击者，同时监听了A和B接收到的密文。因为模数不变，以及所有的公钥都是公开的，那么利用同模攻击，就可以在不知道的条件下破解明文M

攻击条件：

已知

解密数学原理：

当n一定时，已知

假设互质，即此时有：(其中为整数，且一正一负)

通过扩展欧几里得算法，我们可以得到上式的一组解()

假设为正数，为负数

因为 mod ， mod 所以:

mod =(( mod ) *( mod )) mod (由)

可得到： mod

即： mod

例题：

BUU RSA3

c1=22322035275663237041646893770451933509324701913484303338076210603542612758956262869640822486470121149424485571361007421293675516338822195280313794991136048140918842471219840263536338886250492682739436410013436651161720725855484866690084788721349555662019879081501113222996123305533009325964377798892703161521852805956811219563883312896330156298621674684353919547558127920925706842808914762199011054955816534977675267395009575347820387073483928425066536361482774892370969520740304287456555508933372782327506569010772537497541764311429052216291198932092617792645253901478910801592878203564861118912045464959832566051361n=22708078815885011462462049064339185898712439277226831073457888403129378547350292420267016551819052430779004755846649044001024141485283286483130702616057274698473611149508798869706347501931583117632710700787228016480127677393649929530416598686027354216422565934459015161927613607902831542857977859612596282353679327773303727004407262197231586324599181983572622404590354084541788062262164510140605868122410388090174420147752408554129789760902300898046273909007852818474030770699647647363015102118956737673941354217692696044969695308506436573142565573487583507037356944848039864382339216266670673567488871508925311154801e1=11187289c2=18702010045187015556548691642394982835669262147230212731309938675226458555210425972429418449273410535387985931036711854265623905066805665751803269106880746769003478900791099590239513925449748814075904017471585572848473556490565450062664706449128415834787961947266259789785962922238701134079720414228414066193071495304612341052987455615930023536823801499269773357186087452747500840640419365011554421183037505653461286732740983702740822671148045619497667184586123657285604061875653909567822328914065337797733444640351518775487649819978262363617265797982843179630888729407238496650987720428708217115257989007867331698397e2=9647291

解题脚本：from libnum import* #python第三方库from gmpy2 import* #python第三方库n = 22708078815885011462462049064339185898712439277226831073457888403129378547350292420267016551819052430779004755846649044001024141485283286483130702616057274698473611149508798869706347501931583117632710700787228016480127677393649929530416598686027354216422565934459015161927613607902831542857977859612596282353679327773303727004407262197231586324599181983572622404590354084541788062262164510140605868122410388090174420147752408554129789760902300898046273909007852818474030770699647647363015102118956737673941354217692696044969695308506436573142565573487583507037356944848039864382339216266670673567488871508925311154801c1 = 22322035275663237041646893770451933509324701913484303338076210603542612758956262869640822486470121149424485571361007421293675516338822195280313794991136048140918842471219840263536338886250492682739436410013436651161720725855484866690084788721349555662019879081501113222996123305533009325964377798892703161521852805956811219563883312896330156298621674684353919547558127920925706842808914762199011054955816534977675267395009575347820387073483928425066536361482774892370969520740304287456555508933372782327506569010772537497541764311429052216291198932092617792645253901478910801592878203564861118912045464959832566051361c2 = 18702010045187015556548691642394982835669262147230212731309938675226458555210425972429418449273410535387985931036711854265623905066805665751803269106880746769003478900791099590239513925449748814075904017471585572848473556490565450062664706449128415834787961947266259789785962922238701134079720414228414066193071495304612341052987455615930023536823801499269773357186087452747500840640419365011554421183037505653461286732740983702740822671148045619497667184586123657285604061875653909567822328914065337797733444640351518775487649819978262363617265797982843179630888729407238496650987720428708217115257989007867331698397e1 = 11187289e2 = 9647291s = gcdext(e1,e2) #gmpy2.gcdext(),扩展欧几里得算法，返回tuple元组，满足s[1]*e1+s[2]*e2=1m = pow(c1,s[1],n)*pow(c2,s[2],n)%n #获取明文mprint(n2s(m))

8. 低加密指数攻击e=3时的小明文攻击：

特点：e=3，m很小，n很大

当 e=3 时，如果明文过小，导致明文的三次方仍然小于n，那么通过直接对密文开三次方即可得到明文。

即： mod ,如果e=3，且，则：，

2.如果明文的三次方比n大，但不是足够大，那么设k有：

爆破，如果或者能开三次根式，那么就可以直接得到明文。

关键代码i=0while 1: if(iroot(c+i*n,3)[1]==1): #或者 iroot(c-i*n,3) print(iroot(c+i*n,3)[0]) break i=i+1例题：

BUU Dangerous RSA

https://buuoj.cn/challenges#Dangerous%20RSA

题目：

#n: 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#e: 0x3#c:0x10652cdfaa6b63f6d7bd1109da08181e500e5643f5b240a9024bfa84d5f2cac9310562978347bb232d63e7289283871efab83d84ff5a7b64a94a79d34cfbd4ef121723ba1f663e514f83f6f01492b4e13e1bb4296d96ea5a353d3bf2edd2f449c03c4a3e995237985a596908adc741f32365so,how to get the message?解题思路：

假设我们Ｍ / n 商 k 余数为c，

所以Ｍ = + C，对K进行爆破，只要k满足 k*n + C能够开方就可以

解题脚本：from libnum import* #python第三方库from gmpy2 import* #python第三方库n = 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 = 0x10652cdfaa6b63f6d7bd1109da08181e500e5643f5b240a9024bfa84d5f2cac9310562978347bb232d63e7289283871efab83d84ff5a7b64a94a79d34cfbd4ef121723ba1f663e514f83f6f01492b4e13e1bb4296d96ea5a353d3bf2edd2f449c03c4a3e995237985a596908adc741f32365i=0while 1: if(iroot(c+i*n,3)[1]==1): #或者 iroot(c-i*n,3) print(n2s(iroot(c+i*n,3)[0])) break i=i+1

e=2时的小明文攻击：

e=2时，直接将密文C开平方获得解

由于e只有2，相当于把明文m平方而已，得到的C也比n小很多。尝试直接将C开根号看能否得到明文。

from libnum import* #python第三方库from gmpy2 import* #python第三方库c=...... #C的值m=isqrt(c) #开平方根#m=iroot(c,2)[0] #开C的二次方根print(n2s(m))e=1时的小明文攻击：

加密过程：

C≡m mod n ,明文与密文同模

所以有：m=C+n*k,爆破k

from libnum import*n=....c=....max_num = 7 #设置遍历上限for k in range(max_num): m = c + n*k print(n2s(m))

9. 低加密指数广播攻击背景：

如果选取的加密指数较低，并且使用相同的加密指数给一个接受者的群发送相同的信息，那么可以进行广播攻击得到明文

适用条件：

模数n，密文C不同，明文m，加密指数e相同。（一般的话e=k，k是题目给出的n和c的组数）

例如：e=k=3

同余式组：

由中国剩余定理：设是两两互素的正整数，则同余式组：

有唯一解：其中 mod ，

攻击代码

#python3，在两两互质的情况下

from gmpy2 import*n1=...n2=...n3=...c1=...c2=...c3=...e=3def CRT(a,n): sum = 0 N = reduce(lambda x,y:x*y,n) # ni 的乘积,N=n1*n2*n3 for n_i, a_i in zip(n,a): # zip()将对象打包成元组 N_i = N // n_i #Mi=M/ni sum += a_i*N_i*invert(N_i,n_i) #sum=C1M1y1+C2M2y2+C3M3y3 return sum % N n =[n1,n2,n3] c =[c1,c2,c3]x = CRT(c,n)m = iroot(x,e)[0]print(n2s(m))

例题：

BUURSA4https://buuoj.cn/challenges#RSA4

N = 331310324212000030020214312244232222400142410423413104441140203003243002104333214202031202212403400220031202142322434104143104244241214204444443323000244130122022422310201104411044030113302323014101331214303223312402430402404413033243132101010422240133122211400434023222214231402403403200012221023341333340042343122302113410210110221233241303024431330001303404020104442443120130000334110042432010203401440404010003442001223042211442001413004 c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c = 112200203404013430330214124004404423210041321043000303233141423344144222343401042200334033203124030011440014210112103234440312134032123400444344144233020130110134042102220302002413321102022414130443041144240310121020100310104334204234412411424420321211112232031121330310333414423433343322024400121200333330432223421433344122023012440013041401423202210124024431040013414313121123433424113113414422043330422002314144111134142044333404112240344N = 332200324410041111434222123043121331442103233332422341041340412034230003314420311333101344231212130200312041044324431141033004333110021013020140020011222012300020041342040004002220210223122111314112124333211132230332124022423141214031303144444134403024420111423244424030030003340213032121303213343020401304243330001314023030121034113334404440421242240113103203013341231330004332040302440011324004130324034323430143102401440130242321424020323 c = 10013444120141130322433204124002242224332334011124210012440241402342100410331131441303242011002101323040403311120421304422222200324402244243322422444414043342130111111330022213203030324422101133032212042042243101434342203204121042113212104212423330331134311311114143200011240002111312122234340003403312040401043021433112031334324322123304112340014030132021432101130211241134422413442312013042141212003102211300321404043012124332013240431242

解题脚本：from gmpy2 import*from Crypto.Util.number import*from libnum import*# 将5进制数转换为10进制数 int('',5)N1 = int('331310324212000030020214312244232222400142410423413104441140203003243002104333214202031202212403400220031202142322434104143104244241214204444443323000244130122022422310201104411044030113302323014101331214303223312402430402404413033243132101010422240133122211400434023222214231402403403200012221023341333340042343122302113410210110221233241303024431330001303404020104442443120130000334110042432010203401440404010003442001223042211442001413004',5)c1 = int('310020004234033304244200421414413320341301002123030311202340222410301423440312412440240244110200112141140201224032402232131204213012303204422003300004011434102141321223311243242010014140422411342304322201241112402132203101131221223004022003120002110230023341143201404311340311134230140231412201333333142402423134333211302102413111111424430032440123340034044314223400401224111323000242234420441240411021023100222003123214343030122032301042243',5)N2 = int('302240000040421410144422133334143140011011044322223144412002220243001141141114123223331331304421113021231204322233120121444434210041232214144413244434424302311222143224402302432102242132244032010020113224011121043232143221203424243134044314022212024343100042342002432331144300214212414033414120004344211330224020301223033334324244031204240122301242232011303211220044222411134403012132420311110302442344021122101224411230002203344140143044114',5)c2 = int('112200203404013430330214124004404423210041321043000303233141423344144222343401042200334033203124030011440014210112103234440312134032123400444344144233020130110134042102220302002413321102022414130443041144240310121020100310104334204234412411424420321211112232031121330310333414423433343322024400121200333330432223421433344122023012440013041401423202210124024431040013414313121123433424113113414422043330422002314144111134142044333404112240344',5)N3 = int('332200324410041111434222123043121331442103233332422341041340412034230003314420311333101344231212130200312041044324431141033004333110021013020140020011222012300020041342040004002220210223122111314112124333211132230332124022423141214031303144444134403024420111423244424030030003340213032121303213343020401304243330001314023030121034113334404440421242240113103203013341231330004332040302440011324004130324034323430143102401440130242321424020323',5)c3 = int('10013444120141130322433204124002242224332334011124210012440241402342100410331131441303242011002101323040403311120421304422222200324402244243322422444414043342130111111330022213203030324422101133032212042042243101434342203204121042113212104212423330331134311311114143200011240002111312122234340003403312040401043021433112031334324322123304112340014030132021432101130211241134422413442312013042141212003102211300321404043012124332013240431242',5)e=3n = [N1,N2,N3]c = [c1,c2,c3]def CRT(a,n): sum = 0 N = reduce(lambda x,y:x*y,n) # ni 的乘积,N=n1*n2*n3 for n_i, a_i in zip(n,a): # zip()将对象打包成元组 N_i = N // n_i #Mi=M/ni sum += a_i*N_i*invert(N_i,n_i) #sum=C1M1y1+C2M2y2+C3M3y3 return sum % N x = CRT(c,n)m = iroot(x,e)[0] #开e次方根print(n2s(m)) #数值转字符串

10. 低解密指数攻击背景：

与低加密指数相同，低解密指数可以加快解密的过程，但同时也带来了安全问题。Wiener表示如果满足：

那么一种基于连分数（数论中的问题）的特殊攻击类型，就可以危害RSA的安全，此时需要满足：

如果满足上述条件，通过Wiener Attack 可以在多项式时间中分解n。

下载工具：rsa-wiener-attack

github上有公开的攻击代码。

将解密的代码放入wiener-attack的目录下即可。

下载网址: https://github.com/pablocelayes/rsa-wiener-attack

低解密指数攻击的特点：

e看起来特别大就行，且n分解无望

例题：

BUU rsa2https://buuoj.cn/challenges#rsa2

题目：

N = 101991809777553253470276751399264740131157682329252673501792154507006158434432009141995367241962525705950046253400188884658262496534706438791515071885860897552736656899566915731297225817250639873643376310103992170646906557242832893914902053581087502512787303322747780420210884852166586717636559058152544979471e = 46731919563265721307105180410302518676676135509737992912625092976849075262192092549323082367518264378630543338219025744820916471913696072050291990620486581719410354385121760761374229374847695148230596005409978383369740305816082770283909611956355972181848077519920922059268376958811713365106925235218265173085import hashlibflag = "flag{" + hashlib.md5(hex(d)).hexdigest() + "}"解题步骤：

wiener攻击脚本用于求出d的值（注意，这里要将攻击脚本和rsa-wiener-attack的py文件放在同一个目录下）

攻击脚本：import RSAwienerHackern = 101991809777553253470276751399264740131157682329252673501792154507006158434432009141995367241962525705950046253400188884658262496534706438791515071885860897552736656899566915731297225817250639873643376310103992170646906557242832893914902053581087502512787303322747780420210884852166586717636559058152544979471e = 46731919563265721307105180410302518676676135509737992912625092976849075262192092549323082367518264378630543338219025744820916471913696072050291990620486581719410354385121760761374229374847695148230596005409978383369740305816082770283909611956355972181848077519920922059268376958811713365106925235218265173085d = RSAwienerHacker.hack_RSA(e,n)if d: print(d)

得到d后在python2的环境下对其进行MD5哈希即可得到flag

后记：

以上分享了一些基本的RSA加密算法，如果有错误的地方，欢迎大家留言指正，我们一起学习进步。后面我会给大家分享更高阶的加密算法，和我个人认为很好的一些题目,感谢大家的阅读。

文章中可能有因为不同平台间编码格式不同的缘故，而导致部分公式或者图片显示不出来或者是影响阅读。有问题可以在下面留言

玩酷网

科技一颗大心心