孔德坤, 张子南

“晶胞的计算”一直是高考的热点和难点问题，近几年新高考试题中晶胞的计算由立方晶系逐渐过渡到四方晶系、六方晶系和正交晶系.如何高效快速解决晶胞问题呢?本文尝试通过迁移“高中数学知识”来解决晶胞计算的难点问题，以供学生参考学习使用.

一、均摊法在计算微粒数目时的应用

1. 立方晶系、四方晶系、正交晶系晶胞中不同位置粒子的计算(见图1)

2.六方晶系中不同位置粒子的计算(见图2)

3.正三棱柱晶胞(六方晶系的特殊形式))中不同位置的粒子数的计算(见图3)

注:对于独立原子构成的分子，其分子式不能用均摊法，直接根据晶胞得出.

二、迁移数学知识解决新高考中晶胞计算问题

1. 利用“平行线定理和勾股定理”计算两原子之间的距离

例1 (2021年山东高考题节选) XeF2晶体属四方晶系，晶胞参数如图4所示，晶胞棱边夹角均为90°,以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称为原子的分数坐标，如A点原子的分数坐标为 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) .已知Xe—F键长为rpm, 则晶胞中A、B间距离d=__pm.

解析 如图5所示，利用平行线定理，连接CD,则四边形ABCD为平行四边形，故AB平行且等于CD,过C点做底面的垂线，垂足为E,并连接DE,则三角形DEC为直角三角形.根据A点坐标为 ( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) ,则E为底面正方形的中心，三角形DEC中，直角边 DE= 2 2 a ;又Xe-F键长为r,四棱柱的高为c,直角边 CE= c-2r 2 ,根据勾股定理： d=AB=CD = DE 2 +CE 2 = ( 2 2 a) 2 + ( c-2r 2 ) 2 = 1 2 2a 2 + (c-2r) 2 .

2. 利用“空间向量”计算原子的分数坐标

例2 (2020年山东高考节选) 以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子的分数坐标.四方晶系CdSnAs2的晶胞结构如图6所示，晶胞棱边夹角均为90°,晶胞中部分原子的分数坐标如表1所示.

找出距离Cd(0,0,0)最近的Sn__(用分数坐标表示).

解析 原子的分数坐标是指晶胞中的原子坐标只能取分数或零.晶体中原子的坐标参数是以晶胞的三个轴作为坐标轴，以三个轴的轴长(a,b,c)作为坐标轴的单位，如图7所示.与数学上空间向量坐标的计算方法一致，区别在于数学上用实际长度表示，在晶体中坐标全部用分数表示，逢1为0,即为原子位置在各晶轴方向的长度(即数学实际值)除以晶轴的长度所得的值，若所得值为1则写为0.

由均摊法可知黑球数目为 1+ 1 2 ×4+8× 1 8 =4 ,白色大球在内部为8个，白色小球数目为 1 4 ×4+6× 1 2 =4 ,又其中一个的分数坐标为(0,0,0),说明黑球代表Cd, 白色大球代表As, 白色小球代表Sn, 此外，也可以根据各原子分数坐标判断.距离Cd(0,0,0)最近的Sn如图8中的A、B.A点在数学上的坐标为(0.5a,0,0.25a),B点在数学上的坐标为(0.5a,0.5a,0).在晶体中，用对应数学坐标除于晶轴对应长度，即可得到对应分数坐标为A(0.5,0,0.25)、B(0.5,0.5,0),故距离Cd(0,0,0)最近的Sn为(0.5,0,0.25)、(0.5,0.5,0).

3. 利用“球的体积公式”计算空间占有率

例3 (2021年全国乙卷节选)Al Cr2具有体心四方结构，如图9所示，处于顶角位置的是__原子.设Cr和Al原子半径分别为rCr和rAl,则金属原子空间占有率为__%(列计算表达式).

解析 AlCr2具有体心四方结构，如图所示，黑球个数为 8× 1 8 +1=2 ,白球个数为 8× 1 4 +2=4 ,结合化学式AlCr2可知，白球为Cr, 黑球为Al, 即处于顶角位置的是Al原子.根据球的体积公式： V= 4 3 πr 3 ,则金属原子的体积为 4πr Cr 3 3 ×4+ 4πr Al 3 3 ×2= 8π(2r Cr 3 +r Al 3 ) 3 ,故金属原子空间占有率 = 8π( 2r Cr 3 +r Al 3 ) 3 ca 2 = 8π( 2r Cr 3 +r Al 3 ) 3a 2 c ×100%.

4. 利用“直四棱柱的体积公式”计算晶胞体积和利用“射影定理”看晶胞的投影

例4 (2021年河北高考题节选)分别用○、●表示H2PO 4 - 和K+,KH2PO4晶体的四方晶胞如图10(a)所示，图(b)、图(c)分别显示的是H2PO 4 - 、K+在晶胞xz面、yz面上的位置：

①若晶胞底边的边长均为a pm、高为c pm, 阿伏加德罗常数的值为NA,晶体的密度__g·cm-3(写出表达式).

②晶胞在x轴方向的投影图为__(填标号).

解析 ①根据均摊法可知H2PO 4 - 的数目为 1 2 ×4+1+8× 1 8 =4,Κ + 数目为 1 2 ×6+4× 1 4 =4 ,根据直四棱柱体积V=底面积×高，则该四方晶胞体积V=a2c×10-30cm3,晶体密度 ρ= zΜ VΝ A = 4×(39+1×2+31+16×4) Ν A ca 2 × 10 -30 = 4×136 Ν A ca 2 × 10 -30 .

②根据投影定理，点在平面上的投影为过点做平面的垂线，垂足即为投影点.晶胞在x轴方向上的投影即为晶胞中各原子在正面(即平面ABCD)上的投影.根据投影定理可以画出其投影如图11所示.

故答案为B.