“7”是我最喜欢的数字。它是否是我的幸运数字我倒不在乎，我只是喜欢它。喜欢它的神秘与美丽。

“7”有很多神秘而美丽的特性，其中最著名的可能是——把一个东西七等分后会出现神秘的“走马灯数”142857：

1/7=0.142857142857……，小数点后142857的无限循环；

2/7=0.285714285714……，小数点后285714的无限循环；

3/7=0.428571428571……，小数点后428571的无限循环；

4/7=0.571428571428……，小数点后571428的无限循环；

5/7=0.714285714285……，小数点后714285的无限循环；

6/7=0.857142857142……，小数点后857142的无限循环。

这一特征是很多人都知道的，但关于“7”的另外一个神秘而美丽的特征：它是2-9中唯一一个“快乐数”，可能大多数人就不太了解了。

以下内容《快乐数7》是我在三年前的2021年七夕当日写的一篇小科普文，当时发在“ph手记v2”上，v2已死，旧文陪葬，本次重发，略有增删。

《快乐数“7”》

ph

初稿，20210814

修订，20240717

世界上的数字有两种，一种快乐（happy number），一种不快乐（unhappy number）。

那么，哪些数字是快乐的呢？其定义是：计算该数字所有位数上的数值的平方和，对得到的新数继续计算其所有位数上的数值的平方和，一直这样重复进行，最终结果为“1”的那些数，就是快乐数。

这定义是什么意思呢？举个例子就清晰明了了，比如123411这个六位数，它是不是一个快乐数呢？根据定义来检验：计算它的所有位置上的数值的平方和，对得到的新数再重复计算，一直这么重复下去，看最终的结果是不是1。

即：12+22+32+42+12+12=1+4+9+16+1+1=32→ 32+22=13→ 12+32=10 → 12+02=1，因为最终的结果是1，所以123411这个数字是快乐数。

所有最终结果不是1的数字，都不是快乐数，都是不快乐数。

那么，在非零的9个阿拉伯数字1~9中，谁是“快乐数”呢？我们可以逐个排查一遍，如下。

1：12=1，很显然，“1”是快乐数，这是题意自现。但这个快乐数是自己快乐自己，意义不是很大，有点自娱自乐的样子。

2：22=4 → 42=16 → 12+62=37 → 32+72=58→ 52+82=89 → 82+92=145 → 12+42+52=42→ 42+22=20 → 22+02=4 ，到这里就有结论了，因为计算到第九步时，出现了第一步的4，也就是出现了一个4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环，如果按照定义重复计算下去的话，会一直在这个死循环中循环，永远不可能跳出，不可能得到1，所以2是不快乐数。

3：32=9 → 92=81 → 82+12=65 → 62+52=61→ 62+12=37 ，至此，出现了数字37，也便自此掉入了 4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环不能出来，所以3是不快乐数。

4：4就很显然了，一开始就掉入了4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环，所以4是不快乐数。

5：52=25 → 22+52=29→ 22+92=85 → 82+52=89出现了数字89，也便自此掉入了4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环不能出来，所以5是不快乐数。

6：62=36 → 32+62=45→ 42+52=41 → 42+12=17 → 12+72=50→52+02=25→ 出现数字25，即上述“5”的第一步，最终仍然会落入4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环，所以6是不快乐数。

7：72=49 → 42+92=97→ 92+72=81+49=130 → 12+32+02=10 → 12+02=1， binggou！终于出现了1，所以7是快乐数！！！

8：82=64 → 62+42=52→ 52+22=29 出现数字29，即上述“5”的第二步，最终仍然会落入4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环，所以8是不快乐数。

9：一开始就进入“3”的第一步，最终仍然会落入4-16-37-58-89-145-42-20-4的死循环，所以9是不快乐数。

所以，综上所述，在2~9的8个阿拉伯数字中，只有7是快乐数，其他都是不快乐数。

也就是说，根据这个定义规则，只有“7”最终能回到“1”那里去，而其他那些数字，最终都落入了“4-16-37-58-89-145-42-20-4”的死循环怪圈，就像某地几千年的死循环历史一样，走不出来，迷失了自己的方向，跳不出自我的循环，一次次杀死了自己，一次次又复活了自己，一次次重复自己，一次次迷失自己，被这个死循环吞噬，成为这个死循环的一部分，也像《恐怖游轮》中的女主一样，所以它们不快乐。

而只有“7”， 只有“7”是快乐的，因为它找到了“1”，回到了“1”。

所以“九九归一”那个词语，其实应该修改成“七七归一”。

以上是对小于10的整数进行验证，其实，对于所有的不快乐数，无论多大的不快乐数，最终都会掉入“4-16-37-58-89-145-42-20-4”这个死循环怪圈，也就是说，只要在计算过程中碰上4就死循环了，就不快乐了。关于这一点的严格数学证明我不是很清楚，但可以给出一个也基本严密的论证：

因为无论多大的数字，重复计算各位数的平方和后，最终一定能计算到某个小于10的数，而所有小于10的数字里只有1和7是快乐数，其他的个位数都会落入“4”的死循环（见上1~9的遍历排查），所以：

1）所有的整数要么是快乐数，要么是不快乐数，没有既快乐又不快乐的第三种数；

2）所有的不快乐数最终都会掉入“4-16-37-58-89-145-42-20-4”的死循环怪圈；

3）所有数字的平方和的重复计算，最终要么到1结束，要么碰见4开始死循环，只有这两种情况。

还是举最初的那个例子，123411是快乐数，那么123412呢？

123412：12+22+32+42+12+22=1+4+9+16+1+4=29  → 22+92=85→ 82+52=89 → 82+92=145 → 12+42+52=42→ 42+22=20 → 22+02=4。所以123412是不快乐数，并且掉入“4-16-37-58-89-145-42-20-4”的死循环。

总结：

1.快乐数的结果都是1，不快乐数的结果都是“4”的死循环。

2.在2~9中，只有“7”是唯一快乐数。

3.“7”是如此独特，值得爱它的人深爱它。

（7的头上有皇冠）

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